査読/双対基底の図形的関係(Joh著)/4 のバックアップ(No.2)

図のベクトルの長さ †

院試が来週でとにかく一段落する予定(あくまで予定･･･)なので、それまでは亀さんのごときペースで読んでいます。。

記事の中にあった図は大変分かりやすいです！
なんとなく考えていたのですが、

$|\vec{e_1}| \times cos{\theta_1}=|\vec{e^1}|$

$|\vec{e_2}| \times cos{\theta_2}=|\vec{e^2}|$

てな感じの図が書かれている気がしました。
ということは、

$cos{\theta_1}=\frac{(|\vec{e^1}|}{|\vec{e_1}|}$

幾何ベクトルで双対の定義を表せば、

$\vec{e_1} \cdot \vec{e^1}=|\vec{e^1}| |\vec{e_1}| cos{\theta_1} = |\vec{e^1}|^2 =1$

となるから、この図の中では

#mimetex{|\vec{e^1}|=|\vec{e^2}|=1}

として描かれているのかぁ～と思いました。
それさえすぐに思いつけば、図を見て、「双対の定義が成り立っている！！！」ということが見えてきました。

やはり、抽象的な表現や概念は数学では大事ですが、具体的な図を見て親近感が沸いてくのも大事なことですね。