最後の証明だけ気になりました。
&mimetex( x \in N ); と &mimetex( \frac{1}{N} < n ); のNが同じものに見えてしまいます。~
この二つは区別できるように記述する必要があると思います。 特に、前者に関しては
とするほうが良いと思います。