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============================================================ 行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか? ============================================================ 今回の話は短いです。気楽にお読みください。 (この話は、式(4)の後で $AA^{-1}$ が正則であると書いてありますが、 これは間違いでした。よって、修正できるまでお待ちください。) 逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ? ============================================= n次の正則な(つまり、逆行列を持つ)行列 $ A $ とその逆行列 $ A^{-1} $ の積は定義から、 <tex> A^{-1}A=I \tag{##} </tex> です。 $I$ はn次の単位行列です。 ここで、私が気になったのは、 <tex> AA^{-1}=? \tag{##} </tex> の値はどうなるかです。 計算してみましょう。 式 $(1)$ の左から $A$ 、右から $A^{-1}$ を掛けます。 すると、 <tex> AA^{-1}AA^{-1} = AA^{-1} \tag{##} </tex> 右辺を移項して、 <tex> AA^{-1}AA^{-1} - AA^{-1} = (AA^{-1}-I)AA^{-1}=O \tag{##} </tex> 最右辺はゼロ行列です。 右辺のランクは0であり、 左辺は $AA^{-1}$ はランクnであり正則です。 一般に行列 $A$ と正則行列 $B$ について、 $ \rm{rank}(AB) = \rm{rank}A $ 、 となります。 よって、これから、左辺のランクと右辺のランクが等しく $0$ となるので、 <tex> \rm{rank}((AA^{-1}-I)AA^{-1}) = \rm{rank}(AA^{-1}-I) = 0 \tag{##} </tex> よって、 <tex> \rm{rank}(AA^{-1}-I)=0 \tag{##} </tex> すなわち、 $AA^{-1}-I$ はゼロ行列です。 よって、 <tex> AA^{-1}=I \tag{##} </tex> となることが証明されました。 直交行列での実例 ==================== 例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、 <tex> A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> という直交行列に対し、 <tex> AA^{-1} &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} \\ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &=I \tag{##} </tex> と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。 これは、私は理屈では分かるのですが、 とても不思議だと思っています。 それでは、今日はこの辺で。 @@author:クロメル@@ @@accept:2012-07-24@@ @@category:物理数学@@ @@id:comAA-1@@