私も言葉の定義はよくわからないので独り言なんですが、私の専門の航空工学では、オイラー角というと普通3つの角を指しています。剛体の回転の自由度が3だからだというのはご存知だと思います。航空機の姿勢を表すのによく使います。
この記事でやっているのは、デカルト座標系から球座標系への座標変換だと思うのですが、球座標に出てくる二つの角度がオイラー角と呼ばれているのを聞いたことがありません。どうなんでしょう。