変数変換 †
メッセージ †
xとyの積分を、極座標に変換した際に、積分領域が
x掛けるyという矩形の領域から扇形の領域に変更された
わけですが、もしも積分区間が有限ならこれは一致しません。
積分区間が無限だから良い、というのは数学的にはやや乱暴で、
一言説明が必要なように思います。(初投稿！)
返答 †
- 有限区間でも積分範囲を変更すれば当然結果は一致しますよ。ガウス積分の場合も変更されているじゃないですか。あと数学をうるさくやるときりが無いような気がします。僕たちのやりたいことは物理なのでは？ -- おこめ
- 査読ありがとうございます。有限区間なら一致しないとのことですが、たとえば半円 y = √(1-x^2) の囲む面積 S = ∫_0^1 √(1-x^2) dx を極座標に変換して計算しますが、そういう計算はまずいということでしょうか? -- CO
- 僕は、一言触れておく方が良いと思った、というだけで、数学的に厳密な説明をしたほうが良いと書いたのではありません。もちろんやりたいのは物理です。COさんの挙げた例では、変数を変換しても積分領域が変っていませんから問題ありません。おこめさんのコメントの最初の一行は、よく意味がわからないので、もう一度説明をお願いします。 -- Joh
- ここで説明するのは無理です。高校で習う数学の定積分でも変数変換するときは積分範囲をそれに応じて変化させるじゃないですか。だから有限区間でも積分の結果は変数変換しても変わりませんよ、ということです。要望があればそれについてここのプロジェクトのツールを使って数式を書いて説明しますが。あとガウス積分も積分範囲を変えています。 -- おこめ
- なんとなく Joh さんのおっしゃってることがわかりました。Joh さんは、最初の積分領域が矩形であるとおっしゃっていますが、それはどこからでてきたのでしょうか？ -- CO
- もちろん、ここで議論するのは無理です。おこめさん以外にもここを読んでいる人で意味がわからない人がいるかも知れないので、もう一度だけ書きます。頭の中にx軸とy軸を描いて、原点中心に丸を想像してみてください。この内部の領域を、-R<x<R, -√(1-x^2)<y<√(1-x^2)と表現しようが、0<r<R, 0<theta<2piと表現しようが、表している円は同じですね。だから、この円領域内で定義される関数の積分をx,yで表現しようが、r, thetaで表現しようが同じことです。しかし、ガウス積分では有限区間だとすれば、[0,x]x[0,y]という長方形の領域の積分の話を[r;0,R],[theta;0,pi/2]という扇形の領域の話にすり替えているんですよ。これは同じになりません。二次元だから難しいんでしょうか。おこめさん、積分の結果が変数変換しても変らないのは、積分領域も変らない場合だけですよ。 -- Joh
- ＞COさん 普通のxy平面で第二象限だけで考えます。xとyはいま互いに独立ですから、xが[0,x]、yが[0,y]で定義されているとしたら、[0,x]x[0,y]の長方形になると思います。 -- Joh
査読/ガウス積分の公式（CO著）/5 のバックアップ(No.16)
