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rotの座標変換
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ベクトル解析で出てくるrot（ローテーション、回転）は、
他のデカルト座標系では果たして本当にベクトルとして振舞うのかを
調べてみました。
前の記事は、 divの座標変換不変性_ です。
次の記事は、 gradの座標変換_ です。
rotについて基本的なこと
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ベクトル $\bm{A}$ に対して、 $\textrm{rot}$ は以下のように
表わされます。デカルト座標系 $S$ の基底ベクトルを $\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3$
とすると [*]_ 、
.. [*] : この記事では添え字について、 $1,2,3$ は、それぞれ $x,y,z$ を表すものとします。
<tex>
\textrm{rot}\bm{A}
&= \bigl( \frac{\partial A_3}{\partial 2} - \frac{\partial A_2}{\partial 3} \bigr) \bm{e}_1 \\
&+\bigl( \frac{\partial A_1}{\partial 3} - \frac{\partial A_3}{\partial 1} \bigr) \bm{e}_2 \\
&+\bigl( \frac{\partial A_2}{\partial 1} - \frac{\partial A_1}{\partial 2} \bigr) \bm{e}_3 \tag{##}
</tex>
この式は、エディントンのイプシロンと呼ばれる次の記号を使うと簡単に書けます。
<tex>
\varepsilon_{ijk} = \begin{cases}
1 & (\textrm{even}) \\
-1 & (\textrm{odd}) \\
0 & (\textrm{the \ others})
\end{cases} \tag{##}
</tex>
ただし、添え字が偶置換の時を $(\textrm{even})$ 、奇置換の時を $(\textrm{odd})$
それ以外の３つの添え字の中に同じ数が入る時を $(\textrm{the \ others})$ で表わしました。
大抵、この記号はアインシュタインの縮約という「同じ添え字について、和を取ってΣ記号を省略する」ルール [*]_
と一緒に用いられます。
.. [*] : たとえば、 $\bm{A}\cdot \bm{B}= \sum_i A_i B_i = A_i B_i$ のように三次元ベクトルの内積を表します。
更に、例えば $x$ に関する偏微分を、 $\partial_1$ などと書くことにします。
すると、式 $(1)$ は、
<tex>
\textrm{rot}\bm{A} = \varepsilon_{ijk} \partial_j A_k \tag{##}
</tex>
となります。簡潔ですね。
これから、座標の変換を議論します。そこで、 divの座標変換不変性_ で用いたのと同じ変換行列 $U$ を用います。
つまり、座標系 $S$ のベクトル $A_i$ と座標系 $S^\prime$ のベクトル $A_i^\prime$ について、
実直交行列 $U$ が存在して、次のように表わされます。
<tex>
\begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3
\end{pmatrix}
&= U
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_1^\prime \\
A_2^\prime \\
A_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\begin{pmatrix}
\partial_1 \\
\partial_1 \\
\partial_1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \\
u_{21} & u_{22} & u_{23} \\
u_{31} & u_{32} & u_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_1^\prime \\
\partial_2^\prime \\
\partial_3^\prime
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
すると、今示したい変換は、
<tex>
\textrm{rot}\bm{A} &= \varepsilon_{ijk} \partial_j A_k \\
&= \varepsilon_{ilm} \partial_l^\prime A_m^\prime \tag{##}
</tex>
です。
本題
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それでは準備が整いましたので、式 $(6)$ を計算してみましょう。
.. _divの座標変換不変性: http://hooktail.sakura.ne.jp/vectoranalysis/divAnotherCoordinates/
.. _gradの座標変換: http://hooktail.sakura.ne.jp/vectoranalysis/gradAnotherCoordinates/
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-10@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:rotAnotherCoordinates@@
記事ソース/rotの座標変換 のバックアップソース(No.7)
