記事ソース/exp(ix^2)のガウス積分 のバックアップ(No.3)
記事ソース/exp(ix^2)のガウス積分 のバックアップ(No.3)
#rst2hooktai_source ============================================================ exp(ix^2)のガウス積分 ============================================================
ファインマンの経路積分で何気なく使っていたので、 確かめてみました。短いです。
tex> I = \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \tag{##}
/tex>
と置きます。
すると、収束因子として、 $\delta \to +0$ を用いて、
tex> I^2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{i(x^2+y^2)} dx dy \\ &= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2 \pi} d \theta r e^{i r^2} \\ &= [\dfrac{e^{ir^2}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\ &= \lim_{\delta \to +0} [\dfrac{e^{ir^2- \delta r}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\ &= \dfrac{-1}{2 i}2 \pi \\ &= i \pi \tag{##}
/tex>
となり、 よって、
tex> I &= \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \\ &= \sqrt{i \pi} \tag{##}
/tex>
ですね。なるほど、
tex> J &= \int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx \\ &= \sqrt{\pi/\alpha} \tag{##}
/tex>
ですから、この $\alpha$ に $-i$ を代入したものに一致するのですね。 それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@ @@accept:2013-07-07@@ @@category:物理数学@@ @@id:ix^2Gauss@@
