#rst2hooktail_source ============================================================ S=1,S_z=0の状態に関する考察 ============================================================ 二電子のスピン波動関数のスピンのz成分 $S_z$ の 固有状態を $S_x,S_y$ の固有状態で展開してみました。 S=1,S_z=0の固有状態 ============================ 波動関数を基底、 <tex> |\uparrow \uparrow \rangle \ ,\ |\uparrow \downarrow \rangle \ , \ |\downarrow \uparrow \rangle \ ,\ |\downarrow \downarrow \rangle \tag{##} </tex> の順番にとります。 これらの線形結合により、z方向のスピン演算子、 $S_z=s_{z1}+s_{z2}$ は、 対角化されます。 <tex> s_z= \begin{pmatrix} \frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar}{2} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_x= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_y= \begin{pmatrix} 0 & -i\frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> より、 <tex> s_{z1}= \begin{pmatrix} \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{\hbar}{2} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_{z2}= \begin{pmatrix} \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{\hbar}{2} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_{x1}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_{x2}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_{y1}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i\frac{\hbar}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i\frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> s_{y2}= \begin{pmatrix} 0 & -i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i\frac{\hbar}{2} \\ 0 & 0 & i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> だから、 <tex> S_z &= s_{z1}+s_{z2} \\ &= \begin{pmatrix} \hbar & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\hbar \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> S_x &= s_{x1}+s_{x2} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} & \frac{\hbar}{2} & 0 \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ 0 & \frac{\hbar}{2} & \frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> S_y &= s_{y1}+s_{y2} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -i\frac{\hbar}{2} & -i\frac{\hbar}{2} & 0 \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & -i\frac{\hbar}{2} \\ i\frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & -i\frac{\hbar}{2} \\ 0 & i\frac{\hbar}{2} & i\frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \bm{S}^2 &= S_x^2+S_y^2+S_z^2 \\ &= \begin{pmatrix} \frac{\hbar^2}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar^2}{2} \\ 0 & \frac{\hbar^2}{2} & \frac{\hbar^2}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\hbar^2}{2} & \frac{\hbar^2}{2} & 0 \\ \frac{\hbar^2}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar^2}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\hbar^2}{2} & 0 & 0 & -\frac{\hbar^2}{2} \\ 0 & \frac{\hbar^2}{2} & \frac{\hbar^2}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\hbar^2}{2} & \frac{\hbar^2}{2} & 0 \\ -\frac{\hbar^2}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar^2}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \hbar^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \hbar^2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\hbar^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \hbar^2 & \hbar^2 & 0 \\ 0 & \hbar^2 & \hbar^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\hbar^2 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> ここで、 <tex> P=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=P^{-1} </tex> として、 $\hbar^2$ の部分を行列 $P$ で対角化すると、 <tex> A \begin{pmatrix} |\uparrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \rangle \end{pmatrix} &\equiv \begin{pmatrix} \hbar^2 & \hbar^2 \\ \hbar^2 & \hbar^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\uparrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \rangle \end{pmatrix} \\ &\to P^{-1}APP^{-1} \begin{pmatrix} |\uparrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \rangle \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\hbar^2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} |\uparrow \downarrow \rangle + |\downarrow \uparrow \rangle \\ |\uparrow \downarrow \rangle - |\downarrow \uparrow \rangle \end{pmatrix} \tag{##} </tex> よって、 $S=1,(2\hbar^2=1\cdot(1+1)\hbar^2)$ (三重項) <tex> |\uparrow \uparrow \rangle \tag{##} </tex> <tex> \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow \rangle + |\downarrow \uparrow \rangle ) \tag{##} </tex> <tex> |\downarrow \downarrow \rangle \tag{##} </tex> と $S=0,(0\hbar^2 = 0 \cdot (0+1)\hbar^2)$ (一重項) <tex> \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow \rangle - |\downarrow \uparrow \rangle ) \tag{##} </tex> に分かれます。古典的な描像を図にするならば、下図のようになります。 .. image :: chromel-SxSyEigen-01-t.png S_x,S_yの固有状態の準備 =============================== まずは、固有関数の展開に必要な $S_x$ の固有状態を準備します。 <tex> S_x &= s_{x1}+s_{x2} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & \frac{\hbar}{2} & \frac{\hbar}{2} & 0 \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2} & 0 & 0 & \frac{\hbar}{2} \\ 0 & \frac{\hbar}{2} & \frac{\hbar}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 固有値は、 $\lambda=\hbar,0(\mathrm{repeated} \ \mathrm{root}),-\hbar$ です。(ただし、repeated rootは、重解を表す。) 固有ベクトルは、 $\lambda=\hbar$ に対し、 <tex> |S=1,S_x=1 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </tex> また、 $\lambda=-\hbar$ に対し、 <tex> |S=1,S_x=-1 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} </tex> そして、 $\lambda=0$ に対し、 <tex> |S=1,S_x=0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , |S=0,S_x=0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} </tex> 同様に、 $S_y$ の固有関数を求めると、 <tex> |S=1,S_y=1 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ i \\ -1 \end{pmatrix} </tex> <tex> |S=1,S_y=-1 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ -i \\ -1 \end{pmatrix} </tex> <tex> |S=1,S_y=0 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , |S=0,S_y=0 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} </tex> よって、 $S_z$ の固有状態を今求めた $S_x,S_y$ の固有ベクトルで表現すると、 <tex> |S=1,S_z=1 \rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( |S=1,S_x=1 \rangle + |S=1,S_x=-1 \rangle +\sqrt{2}|S=1,S_x=0 \rangle \right) \tag{##} </tex> <tex> |S=1,S_z=-1 \rangle &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( |S=1,S_x=1 \rangle + |S=1,S_x=-1 \rangle -\sqrt{2}|S=1,S_x=0 \rangle \right) \tag{##} </tex> <tex> |S=1,S_z=0 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |S=1,S_x=1 \rangle - |S=1,S_x=-1 \rangle \right) \tag{##} </tex> また、 $S_y$ に関しても同様に、 <tex> |S=1,S_z=1 \rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ i \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ -i \\ -1 \end{pmatrix} + \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( |S=1,S_y=1 \rangle + |S=1,S_y=-1 \rangle +\sqrt{2}|S=1,S_y=0 \rangle \right) \tag{##} </tex> <tex> |S=1,S_z=-1 \rangle &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \left( - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ i \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ -i \\ -1 \end{pmatrix} + \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left(-|S=1,S_y=1 \rangle - |S=1,S_y=-1 \rangle +\sqrt{2}|S=1,S_y=0 \rangle \right) \tag{##} </tex> <tex> |S=1,S_z=0 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}i} \left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ i \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ -i \\ -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}i} \left( |S=1,S_y=1 \rangle - |S=1,S_y=-1 \rangle \right) \tag{##} </tex> <tex> |S=0,S_z=0 \rangle &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= |S=0,S_x=0 \rangle \\ &= |S=0,S_y=0 \rangle \tag{##} </tex> となります。式 $(23)$ と式 $(26)$ に注目してみましょう。 <tex> |S=1,S_z=0 \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |S=1,S_x=1 \rangle - |S=1,S_x=-1 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}i} \left( |S=1,S_y=1 \rangle - |S=1,S_y=-1 \rangle \right) \tag{##} </tex> となっていますね。 これは、x軸とy軸の周りの回転が、 正と負の両方向の回転が重なっていることを表しています。 古典論では、考えられない状態ですね(^_^;) それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした^^ @@author:クロメル@@ @@accept:2009-12-18@@ @@category:量子力学@@ @@id:SxSyEigen@@