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4次元のオイラー角
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4次元空間の回転法について一つ提案をしてみようと思います。
いくつもある定義法の内、どう表現するのが美しいのか、それについて考えました。
3次元のオイラー角
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まず3次元のオイラー角について復習しましょう。
能動的回転として、回転をすべてx軸y軸z軸を固定して、回転後の新たな軸まわりの回転を用いない場合、
三次元のオイラー角は 複雑な回転を基本的な回転で表す方法_ で述べたように、 $A_z B_y \Gamma_z = \Gamma_{z^{\prime\prime}} B_{y^\prime} A_{z}$ となります。動径のみの回転で最後の $\Gamma$ 回転を行わない時、回転行列は $A_z B_y = B_{y^\prime} A_{z}$ となります。
ここで、オイラー角ではなく、動径の回転だけを考えるとき、回転行列をスマートに求める方法があります。極座標表示 $\alpha = \theta, \beta = \phi$ として、
<tex>
\bm{r} =
\begin{pmatrix}
r \sin \theta \cos \phi \\
r \sin \theta \sin \phi \\
r \cos \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
として、 $\partial_r \bm{r}$ , $\partial_\theta \bm{r}$ , $\partial_\phi \bm{r}$ を規格化して
単位ベクトルとしたものを並べれば、望みの行列が得られます。具体的には、 $\theta = 0 , \phi = 0$ で、$(\bm{e}_x,\bm{e}_y,\bm{e}_z)$ が $(\bm{e}_\theta,\bm{e}_\phi,\bm{e}_r)$ に一致するように、この順番で列ベクトルを並べれば、
<tex>
R(\theta,\phi,r) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \phi & - \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \\
\cos \theta \sin \phi & \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \\
- \sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
です。これを任意のベクトル $\bm{u}$ に掛けると、回転後の $\bm{v} = R(\theta,\phi,r) \bm{u}$ が得られます。試しに $(x,y,z) = (0,0,1)$ を入れると、確かに回転後の $(x,y,z)=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$ が返ってきます。
4次元の動径の回転
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ということはです。4次元の動径の回転も同様に極座標の偏微分で考えられるはずです。
実際、それは簡単に求まります。まず、四次元デカルト座標を $\bm{r} = (w,x,y,z)$ としましょう。
極座標を
<tex>
\bm{r} =
\begin{pmatrix}
r \cos \theta \\
r \sin \theta \cos \phi \\
r \sin \theta \sin \phi \cos \psi \\
r \sin \theta \sin \phi \sin \psi
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
としましょう。すると、 $(\theta,\phi,\psi) = (0,0,0)$ の時、単位行列になる偏微分ベクトルの並べ方は、
コサインだけで作られているところが１になりますから、
<tex>
R(r,\theta,\phi,\psi) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & - \sin \phi & 0 \\
\sin \theta \sin \phi \cos \psi & \cos \theta \sin \phi \cos \psi & \cos \phi \cos \psi & -\sin \psi \\
\sin \theta \sin \phi \sin \psi & \cos \theta \sin \phi \sin \psi & \cos \phi \sin \psi & \cos \psi
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。これの意味するところは、まずベクトル $(w,x,y,z)$ を $wx$ 平面内の( $yz$ 平面を軸とした) $\theta$ の回転( $\Theta_{wx}$ )を行います。次に $xy$ 平面内の( $wz$ 平面を軸とした) $\phi$ の回転( $\Phi_{xy}$ )を行います。最後に $yz$ 平面内で $\psi$ の回転( $\Psi_{yz}$ )をしていることに相当するのです。つまり、
<tex>
\Theta_{wx} =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\Phi_{xy} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\
0 & \sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
<tex>
\Psi_{yz} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\
0 & 0 & \sin \psi & \cos \psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
とすると、
<tex>
R(r,\theta,\phi,\psi) = \Psi_{yz} \Phi_{xy} \Theta_{tx} \tag{##}
</tex>
が成立します。
4次元のオイラー角
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3次元の回転との類推から、動径の回転にひと手間、もう一回回転を加えれば、
4次元のオイラー角が得られると類推できます。その回転とはなんでしょう？
4次元ベクトルは、自由度が4ですから、4つの回転というのは妥当でしょう。
例えば、 $\Theta,\Phi,\Psi$ の添え字は $wx,xy,yz$ となっています。循環的ですね。
つまり、回転角 $\chi$ として $X_{zw}$ をさらにかければ美しいのではないでしょうか。
添え字は $wz$ ではなく、 $zw$ ですから、 $\sin \chi$ の符号は、
<tex>
X_{zw} =
\begin{pmatrix}
\cos \chi & 0 & 0 & - \sin \chi \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\sin \chi & 1 & 0 & \cos \chi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と取るのが自然でしょう。
よって、 複雑な回転を基本的な回転で表す方法_ で見たように、これは動径の回転の後に $X_{zw}$ を行うのが自然でしょう。つまり、
<tex>
R_{Euler} = X_{zw} \Psi_{yz} \Phi_{xy} \Theta_{wx} \tag{##}
</tex>
とするのがよいと思います。
具体的に示して、終わりとしましょう。
<tex>
R_{Euler} =
\begin{pmatrix}
\cos \theta \cos \chi -\sin \theta \sin \phi \sin \psi \sin \chi & - \sin \theta \cos \chi - \cos \theta \sin \phi \sin \psi \sin \chi & - \cos \phi \sin \psi \sin \chi & - \cos \psi \sin \chi \\
\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & - \sin \phi & 0 \\
\sin \theta \sin \phi \cos \psi & \cos \theta \sin \phi \cos \psi & \cos \phi \cos \psi & -\sin \psi \\
\cos \theta \sin \chi +\sin \theta \sin \phi \sin \psi \cos \chi & -\sin \theta \sin \chi + \cos \theta \sin \phi \sin \psi \cos \chi & \cos \phi \sin \psi \cos \chi & \cos \psi \cos \chi
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
あくまで、これは数ある4次元の回転の中で、比較的美しいと思われる回転行列の一つです。
今日はここまで、お疲れさまでした。
.. _複雑な回転を基本的な回転で表す方法: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/rotOfNewAxisAndOldAxis/
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-02-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:euler4D@@
記事ソース/4次元のオイラー角 のバックアップの現在との差分(No.4)
