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力学的エネルギー保存則の導出
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力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう.
1. 運動方程式を立てる
2. 両辺に速度の成分を掛ける
3. 両辺を微分の形で表す
4. イコールゼロの形にする
という手順で導きます.
運動方程式を立てる
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まず,つぎのような運動方程式を考えます.
<tex>
ma = -kx + mg
</tex>
これは重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ が働いている物体(質量は $m$ )の運動方程式です.
両辺に速度の成分を掛ける
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つぎに,運動方程式の両辺に速度の成分 $v$ を掛けます.
<tex>
mav = -kxv + mgv \tag{1}
</tex>
なぜそんなことをするかというと,こうすると都合がいいからです.どう都合がいいのかはもう少し後で分かります.
両辺を微分の形で表す
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式(1)は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)= \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right)$ (2)
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right) \tag{2}
</tex>
と微分の形で表すことができます.左辺は運動エネルギー,右辺第一項はバネの位置エネルギー(の符号が逆になったもの),右辺第二項は重力の位置エネルギー(の符号が逆になったもの),のそれぞれ時間微分の形になっています.なぜこうなるのかを説明します.
加速度 a と速度 v はそれぞれ
$\displaystyle a=\frac{dv}{dt},\qquad v=\frac{dx}{dt}$
加速度 $a$ と速度 $v$ はそれぞれ
<tex>
a = \frac{dv}{dt},\qquad v = \frac{dx}{dt}
</tex>
という関係にあります.加速度は速度の時間微分,速度は位置の時間微分です.この関係を使って計算すると式(2)の左辺は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)$
$\displaystyle =\frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}$
$\displaystyle =mav$ (3)
となります.ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています.式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね.運動方程式に速度 v をあらかじめ掛けておいたのは,このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです.同じように計算していくと式(2) 式の右辺の第1項は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)$ $\displaystyle =-\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)$
$\displaystyle =-\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}$
$\displaystyle =-kxv$
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)
= \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)
= \frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}
= mav \tag{3}
</tex>
となります.ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています.式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね.運動方程式に速度 $v$ をあらかじめ掛けておいたのは,このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです.同じように計算していくと式(2)の右辺の第1項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)
= -\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)
= -\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}
= -kxv
</tex>
となり,式(2)の右辺第1項と同じになります.第2項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(mgx\right)
= mg\frac{dx}{dt}
= mgv
</tex>
となり,式(1)の右辺第2項と同じになります.
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(mgx\right)$ $\displaystyle =mg\frac{dx}{dt}$
$\displaystyle =mgv$
なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが,式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました.これが言いたかったんです.
となり,式(1)の右辺第2項と同じになります.
なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが,式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました.これが言いたかったんです.
イコールゼロの形にする
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式(2)の右辺を左辺に移項すると
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right)=0$
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right) = 0
</tex>
という形になります.この式は何を意味しているでしょうか.カッコの中身はそれぞれ運動エネルギー,バネの位置エネルギー,重力の位置エネルギーを表しているのでした.
それらを全部足して,時間微分したものがゼロになっています.ということは,エネルギーの合計は時間的に変化しないことになります.つまりエネルギーの合計は常に一定になるので,エネルギーが保存されるということがわかります.
@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-13@@
@@category: 力学@@
@@id: enaglaw-derive@@