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力学的エネルギー保存則の導出
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力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう．
1. 運動方程式を立てる
2. 両辺に速度の成分を掛ける
3. 両辺を微分の形で表す
4. イコールゼロの形にする
という手順で導きます．
運動方程式を立てる
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まず，つぎのような運動方程式を考えます．
<tex>
ma = -kx+mg
ma = -kx + mg
</tex>
これは重力 mg とばねの力 -kx が働いている物体（質量は m）の運動方程式です．
これは重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ が働いている物体（質量は $m$ ）の運動方程式です．
両辺に速度の成分を掛ける
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つぎに，運動方程式の両辺に速度の成分 v を掛けます．
$\displaystyle mav=-kxv+mgv$ (1)
つぎに，運動方程式の両辺に速度の成分 $v$ を掛けます．
<tex>
mav = -kxv + mgv \tag{1}
</tex>
なぜそんなことをするかというと，こうすると都合がいいからです．どう都合がいいのかはもう少し後で分かります．
両辺を微分の形で表す
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式(1)は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)= \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right)$ (2)
と微分の形で表すことができます．左辺は運動エネルギー，右辺第一項はバネの位置エネルギー（の符号が逆になったもの），右辺第二項は重力の位置エネルギー（の符号が逆になったもの），のそれぞれ時間微分の形になっています．なぜこうなるのかを説明します．
加速度 a と速度 v はそれぞれ
$\displaystyle a=\frac{dv}{dt},\qquad v=\frac{dx}{dt}$
という関係にあります．加速度は速度の時間微分，速度は位置の時間微分です．この関係を使って計算すると式(2)の左辺は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)$
$\displaystyle =\frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}$
$\displaystyle =mav$ (3)
となります．ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています．式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね．運動方程式に速度 v をあらかじめ掛けておいたのは，このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです．同じように計算していくと式(2) 式の右辺の第1項は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)$ $\displaystyle =-\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)$
$\displaystyle =-\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}$
$\displaystyle =-kxv$
となり，式(2)の右辺第1項と同じになります．第2項は
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(mgx\right)$ $\displaystyle =mg\frac{dx}{dt}$
$\displaystyle =mgv$
となり，式(1)の右辺第2項と同じになります．
なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが，式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました．これが言いたかったんです．
イコールゼロの形にする
式(2)の右辺を左辺に移項すると
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right)=0$
という形になります．この式は何を意味しているでしょうか．カッコの中身はそれぞれ運動エネルギー，バネの位置エネルギー，重力の位置エネルギーを表しているのでした．
それらを全部足して，時間微分したものがゼロになっています．ということは，エネルギーの合計は時間的に変化しないことになります．つまりエネルギーの合計は常に一定になるので，エネルギーが保存されるということがわかります．
@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-13@@
@@category: 力学@@
@@id: enaglaw-derive@@
記事ソース/力学的エネルギー保存則の導出 のバックアップ差分(No.2)
