これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細).
================================= 力学的エネルギー保存則の導出 ================================= 力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう. 1. 運動方程式を立てる 2. 両辺に速度の成分を掛ける 3. 両辺を微分の形で表す 4. イコールゼロの形にする という手順で導きます. 運動方程式を立てる ==================== まず,つぎのような運動方程式を考えます. <tex> ma = -kx+mg </tex> これは重力 mg とばねの力 -kx が働いている物体(質量は m)の運動方程式です. 両辺に速度の成分を掛ける =========================== つぎに,運動方程式の両辺に速度の成分 v を掛けます. $\displaystyle mav=-kxv+mgv$ (1) なぜそんなことをするかというと,こうすると都合がいいからです.どう都合がいいのかはもう少し後で分かります. 両辺を微分の形で表す ======================== 式(1)は $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)= \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right)$ (2) と微分の形で表すことができます.左辺は運動エネルギー,右辺第一項はバネの位置エネルギー(の符号が逆になったもの),右辺第二項は重力の位置エネルギー(の符号が逆になったもの),のそれぞれ時間微分の形になっています.なぜこうなるのかを説明します. 加速度 a と速度 v はそれぞれ $\displaystyle a=\frac{dv}{dt},\qquad v=\frac{dx}{dt}$ という関係にあります.加速度は速度の時間微分,速度は位置の時間微分です.この関係を使って計算すると式(2)の左辺は $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}$ $\displaystyle =mav$ (3) となります.ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています.式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね.運動方程式に速度 v をあらかじめ掛けておいたのは,このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです.同じように計算していくと式(2) 式の右辺の第1項は $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)$ $\displaystyle =-\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)$ $\displaystyle =-\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}$ $\displaystyle =-kxv$ となり,式(2)の右辺第1項と同じになります.第2項は $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(mgx\right)$ $\displaystyle =mg\frac{dx}{dt}$ $\displaystyle =mgv$ となり,式(1)の右辺第2項と同じになります. なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが,式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました.これが言いたかったんです. イコールゼロの形にする 式(2)の右辺を左辺に移項すると $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right)=0$ という形になります.この式は何を意味しているでしょうか.カッコの中身はそれぞれ運動エネルギー,バネの位置エネルギー,重力の位置エネルギーを表しているのでした. それらを全部足して,時間微分したものがゼロになっています.ということは,エネルギーの合計は時間的に変化しないことになります.つまりエネルギーの合計は常に一定になるので,エネルギーが保存されるということがわかります. @@author: 崎間@@ @@accept: 2003-08-13@@ @@category: 力学@@ @@id: enaglaw-derive@@