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留数定理の積分路が原点を囲む囲まないかの違いについて
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この記事では、$R,r,t$ を実数とした時、 $\Gamma : z=Re^{it} + r \ (t: 0 \to 2\pi)$ とした時の $\int_\Gamma \dfrac{dz}{z}$ を考えます。工学的な記述であって、あまり数学的厳密性はありません。
計算の実行
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上に述べたとおりの条件で、積分を行います。 $dz = i Re^{it} dt$ より、
<tex>
\int_\Gamma \dfrac{dz}{z}
&= \int_{t=0}^{2 \pi} \dfrac{iRe^{it}}{Re^{it} + r} dt \\
&= \left[ \rm{log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} \\
&= \left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| + i \phi \right]_{t=0}^{2 \pi} \tag{##}
</tex>
ここで、実部は $R$ と $r$ の値に関わらず、
<tex>
\left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} = 0 \tag{##}
</tex>
です。 $\rm{Log}$ は引数に実数を取り普通の実関数の $\log$ と同じ値を返します。
これを「対数の主値」と言います。一方、 $\rm{log}$ の虚部 $\phi$ は、
<tex>
\phi &= \arg(z) \\
&= \tan^{-1} \left( \dfrac{R \sin t}{R \cos t + r} \right)
\tag{##}
</tex>
となります。
R<rの時
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これは、原点から見て $t$ が $0 \to 2\pi$ まで動くとき、 $\phi$ は $0 \to 0$ を動きます。
積分路が原点を囲わない為、 $\rm{log}$ のリーマン面の分枝を跨がない為です。
よって、
<tex>
\int_\Gamma \dfrac{dz}{z} = 0 \tag{##}
</tex>
となります。
R>rの時
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この時は、注意が必要です。
なぜならば、 $R \cos t + r$ がゼロになる $t$ が二つあるからです。これに対応する $t$ を $t_1,t_2 \ (t_1 < t_2)$ とします。ここで小さな正の実数 $\varepsilon (>0) $ を用意します。 $t_1,t_2$ を除いて $t: 0 \to t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon \to t_2 - \varepsilon, \ t_2 + \varepsilon \to 2 \pi$ とすればよいようです。この時、 $\phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to \dfrac{\pi}{2},- \dfrac{\pi}{2} \to 0$ と動きますから、その後で $\varepsilon \to 0$ とすればよく、
<tex>
&\left[ i \phi \right]_{t=0}^{t_1 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_1 + \varepsilon}^{t_2 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_2 + \varepsilon}^{2 \pi} \\
&\to i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(\dfrac{\pi}{2}-(-\dfrac{\pi}{2}))+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\
&= 2 \pi i \tag{##}
</tex>
となります。
R=rの時
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この場合は、
<tex>
\phi
&= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t}{\cos t + 1} \right) \\
&= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t(1- \cos t)}{(\cos t + 1)(1- \cos t)} \right) \\
&= \tan^{-1} \left( \dfrac{1- \cos t}{\sin t} \right) \tag{##}
</tex>
となります。ここで $t:0 \to \pi - \varepsilon,\pi + \varepsilon \to 2 \pi$ の時、 $\phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to 0$ となるので、
<tex>
&\left[ i \phi \right]_{t=0}^{\pi - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=\pi + \varepsilon}^{2 \pi} \\
&\to i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\
&= \pi i \tag{##}
</tex>
となります。
まとめ
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$\Gamma: z = R e^{it} + r \ (t:0 \to 2 \pi)$ の時、
<tex>
\int_{\Gamma} \dfrac{dz}{z} &=
\begin{cases}
0 \ (R<r) \\
\pi i \ (R=r) \\
2 \pi i \ (R>r) \\
\end{cases}
</tex>
となります。
今日はここまで、お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-07-30@@
@@category:複素解析@@
@@id:exOfComplexIntegral@@
記事ソース/留数定理の積分路が原点を囲む囲まないかの違いについて のバックアップソース(No.7)
