記事ソース/不定期連載コラム第 1 回『特殊な一階の常微分方程式』 のバックアップ(No.5)
記事ソース/不定期連載コラム第 1 回『特殊な一階の常微分方程式』 のバックアップ(No.5)
================================================================================ 不定期連載コラム第 1 回『特殊な一階の常微分方程式』 ================================================================================
先日，かぎしっぽのメーリングリストで，池の氷の成長速度 (氷の厚さ) が話題になりました。 詳細な説明はここでは致しませんが， 氷の厚さ $u$ と時刻 $t$ との間には，ある定数 $a$ を用いて
.. _eq01:
tex> \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = \frac{\, a \,}{\, u \,} \qquad \tag{1}
/tex>
という関係があるというものでした。 この `(1) 式`_ の微分方程式の解は，積分定数 $C$ を用いて，
tex> u = \pm \sqrt{\mathstrut 2 a t + C \,} \qquad \tag{2}
/tex>
と表されます [#]_ 。 つまり，大雑把にいえば $\sqrt{\mathstrut t \,}$ に比例します。
.. [#]
この問題の場合は，氷の厚さですので，
常に $0 \leq u$ かつ， $t = 0$ のとき， $u = 0$ です。
よって， $C = 0$ となり， $0 \leq u$ と併せて，
$u = \sqrt{\mathstrut 2 a t \,}$ となります。
この微分方程式を眺めていて，
.. _eq03:
tex> \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a u \qquad \tag{3}
/tex>
の解が，積分定数 $C$ を用いて，
tex> u = \pm C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{4}
/tex>
で表されることが頭に浮かんで来ました。 この二つの微分方程式は，共に，
.. _eq05:
tex> \frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a {u}^{k} \qquad \tag{5}
/tex>
という形をしています [#]_ 。 しかし，その解は，一方では平方根，もう一方は指数関数と，全く違った形をしています。 そこで，今回は， `(5) 式`_ の形の微分方程式を解いてみたいと思います。
.. [#]
`(5) 式`_ で $k = -1$ とおくと `(1) 式`_ になり， $k = 1$ とおくと `(3) 式`_ になります。
前提条件 ================================================================================
さて， `(5) 式`_ を解く訳ですが，その前提条件を決めておきましょう。 $u$ は $t$ の函数ですが，ここで定義域は $0 \leq t$ とします。 $k$ を実数全体に拡張したいので， $0 \leq u$ とします。 更に， $0 < t$ のとき， $0 < u$ であるとします。 定数 $a$ も， $0 < a$ とします。これらの条件下で [#]_ `(5) 式`_ を解きます。
ここで，簡単の為に， ${}^{\prime}$ は $t$ による微分を表すこととします。 即ち， `(5) 式`_ は，
.. _eq06:
tex> {u}^{\prime} = a {u}^{k} \qquad \tag{6}
/tex>
となります。
.. [#]
この条件では， $0 < t$ で右辺は常に正の値を取ります ( $t = 0$ では $0$ 以上の値を取ります)。 つまり，導関数の値が常に正または $0$ ですから， 函数 $u$ は広義の単調増加函数です。
では解いてみましょう ================================================================================
`(6) 式`_ は， `変数分離形`_ で解く事が出来ますが， ここでは，ちょっと変わった解き方をしてみます。
まず， $0 < t$ において， $0 < u$ であることから， `(6) 式`_ の両辺に ${u}^{-k}$ を掛けます。 即ち，
.. _eq07:
tex> {u}^{-k} {u}^{\prime} = a \qquad \tag{7}
/tex>
となります。
ここで，函数 $u$ に対して， $j \neq 0$ のとき， ${u}^{j}$ ( $j$ は実数) の $t$ による微分， 即ち ${{u}^{j}}^{\prime}$ を考えます。 これは，合成函数の微分から，
.. _eq08:
tex> {\left({u}^{j}\right)}^{\prime} = j {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime} \qquad \tag{8}
/tex>
が成り立ちます。
ここで `(8) 式`_ を $j \neq 0$ に注意して整理しますと，
.. _eq09:
tex> \frac{\,{\left({u}^{j}\right)}^{\prime}\,}{j} = {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime}
\qquad \tag{9}/tex>
となります。
`(9) 式`_ において， $j - 1 = -k$ とおくと， $j = 1 - k$ で $k \neq 1$ ，
.. _eq10:
tex> \frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = {{u}^{-k}} {u}^{\prime}
\qquad \tag{10}/tex>
となります。
`(10) 式`_ の右辺は， `(7) 式`_ の左辺に等しいので，
tex> \frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = a
\qquad \tag{11}/tex>
即ち，
.. _eq12:
tex> \left({u}^{1 - k}\right)^{\prime} = a (1 - k) \qquad \tag{12}
/tex>
となります。
ここで， `(12) 式`_ の右辺 ( $a (1 - k)$ ) は定数であることに注意して 両辺を $t$ で積分すると，$C$ を積分定数として，
tex> {u}^{1 - k} = a (1 - k) t + C \qquad \tag{13}
/tex>
となりますから， $0 \leq u$ より， この両辺の $1 - k \, \left( \mathstrut k \neq 1 \right)$ 乗根を取ると，
.. _eq14:
tex> u = {\left( a (1 - k) t + C \right) }^{\frac{1}{\, 1 - k \, }} \qquad \tag{14}
/tex>
となります。
一方， $k = 1$ のときは，解くべき微分方程式 ( `(6) 式`_ ) は，
tex> {u}^{\prime} = a u \qquad \tag{15}
/tex>
即ち
tex> \frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} = a \qquad \tag{16}
/tex>
となりますから， $0 < u$ のとき，
tex> {\left(\ln u \right)}^{\prime} = \frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} \qquad \tag{17}
/tex>
より [#]_ ，
..[#]
$\ln x$ は，${\log}_{\mathrm{e}} x$ のことです。
高校では $\log x$ と底を省略した場合は，底が $\mathrm{e}$ で
ある場合 (自然対数) と $10$ である場合 (常用対数) の双方がありましたが，
それでは紛らわしいので， $\log$ は常用対数を， $\ln$ は自然対数を，
それぞれ表すものとされています。
.. _eq18:
tex> {\left(\ln u \right)}^{\prime} = a \qquad \tag{18}
/tex>
となります。 `(18) 式`_ の両辺を $t$ で積分して，
tex> \ln u = a t + C \qquad \tag{19}
/tex>
即ち，
tex> u = \mathrm{e}^{a t + C} = \mathrm{e}^{C} \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{20}
/tex>
となりますが， $\mathrm{e}^{C}$ は定数ですので，これを改めて $C$ と書けば，
.. _eq21:
tex> u = C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{21}
/tex>
となります。
結局， $k \neq 1$ のときは， `(14) 式`_ が， $k = 1$ のときは， `(21) 式`_ が， それぞれ解となります。これは， ${t}^{j}$ の $t$ での積分， 即ち $\int {t}^{j} \mathrm{d}t$ が， $j = -1$ と $j \neq -1$ とで 解の形が変わるという事と同じ事ですね。
と，いうことで，今回のコラムはこれで終わります。ではまた。合掌
..
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.. _変数分離形: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
@@author:K. I.@@ @@accept:2014-07-18@@ @@category:コラム@@ @@id:column0001@@
