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熱力学第2法則
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エントロピー増大の法則について書きます。
エネルギーとは何かと聞かれると弱いです (^^;)
熱流とエントロピー
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系が熱流 $\mathrm{d}^\prime Q$ を受け取るとき、エントロピー $S$ は、
下の分だけ増加します。
<tex>
\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}^\prime Q}{T} \tag{##}
</tex>
これが、エントロピーの定義です。
エントロピーと温度
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上の式は次のように変形できます。
両辺を $\mathrm{d}^\prime Q$ で
割って、 $\mathrm{d}^\prime Q$ をエネルギー $E$ で置き換えるのです。
割って、 $\mathrm{d}^\prime Q$ をエネルギー $E$ で置き換えるのです [*]_ 。
添え字の $V$ は系の体積を表し、
系が外部からされる仕事 $W=- p \mathrm{d} V$ をしないし、もらいもしない場合の
変化に対する微分を表します。
.. [*] : 今、熱力学第一法則より、 $\mathrm{d}E = \mathrm{d}^\prime Q + \mathrm{d}^\prime W$ であり、等積変形を考える
ので $\mathrm{d}^\prime W=0$ よって、 $\mathrm{d}E = \mathrm{d}^\prime Q$ です。
<tex>
\bigl(\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}E} \bigr)_V=\frac{1}{T} \tag{##}
</tex>
基本的な仮定として、熱(エネルギー)は温度が高いところから低いところに流れます。
実はこれがあの有名な熱力学第二法則です。
系Aと系B
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ここで、二つの系 $A,B$ が接触していて熱のやり取りができるような系を考えます。
系の温度は以下のように $B$ より $A$ の方が高いとします。
<tex>
\frac{1}{T_A} = \bigl( \frac{\mathrm{d}S_A}{\mathrm{d}E} \bigr)_V
< \frac{1}{T_B} = \bigl( \frac{\mathrm{d}S_B}{\mathrm{d}E} \bigr)_V \tag{##}
</tex>
とすると、熱 $\mathrm{d}^\prime Q$ は温度 $T$ が高い $A$ から、低い $B$ へ
流れます。
すると、示量変数 [*]_ であるエントロピーは足すことができるので、
系全体のエントロピーは、以下のように増加します。ただし、 $\mathrm{d}^\prime Q>0$ です。
.. [*] : 示量変数とは系の大きさが倍になったときに同様に倍になる変数を表し、
示強変数とは、系の大きさが倍になっても値が変わらない変数のことを言います。
前者の例は、体積 $V$ やエントロピー $S$ が、後者の例は、圧力 $P$ や温度 $T$ が
あります。
<tex>
\Delta S_{\mathrm{total}} &= \bigl( \frac{\mathrm{d}S_B}{\mathrm{d}E} \bigr)_V \mathrm{d}^\prime Q
-\bigl( \frac{\mathrm{d}S_A}{\mathrm{d}E} \bigr)_V \mathrm{d}^\prime Q \\
&= (\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A})\mathrm{d}^\prime Q \\
& > 0 \tag{##}
</tex>
これが有名なエントロピー増大の法則です。
少なくとも熱力学においては、熱は温度の高いところから低いところへ流れるということしか言っていないのです。
それでは今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-10@@
@@category:熱力学@@
@@id:thermoSecondLaw@@
記事ソース/熱力学第2法則 のバックアップ差分(No.2)
