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記事ソース/独楽（コマ）を傾けることに関する考察†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

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記事ソースの内容

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============================================================
独楽（コマ）を傾ける事に関する考察
============================================================

この記事では、独楽（コマ）を傾ける力を加えると、
独楽がどう振る舞うか、について書きます。

考える独楽の説明
======================

.. image :: chromel-spinningTop-01-t.png

図の様なｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向にパイプを持ち、
ｘ、ｙ方向の端には原点から $R$ 質量 $m$ の質点が付けられている、
回転体を考えます。この質点に１，２，３，４と名前を付けます。

角速度 $\omega$ で回転軸をｚ方向にして回転している時、
質点の座標をそれぞれ $\bm{r}_1,$  $\bm{r}_2,$  $\bm{r}_3,$  $\bm{r}_4$ 
とすると、行ベクトル（ $T$ は転置の意味）を用いて、

<tex>
\bm{r}_1 = ( R \cos \omega t , R \sin \omega t , 0 )^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\bm{r}_2 = ( - R \sin \omega t , R \cos \omega t , 0 )^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\bm{r}_3 = ( - R \cos \omega t , - R \sin \omega t , 0 )^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\bm{r}_4 = ( R \sin \omega t , - R \cos \omega t , 0 )^T \tag{##}
</tex>

となります。以降では、質点３，４は、１，２と原点対称なので、
計算を省略します。

傾ける力を加える
=======================

ここで、ｚ軸の正の側を手で持ち、ｘ軸の負の方向へ倒す力を加えます。
偶力にする為、同時にｚ軸の負の側を持ち、ｘ軸の正の方向へ力を加えます。
すると運動方程式は、おおざっぱに見積もって、時間が十分に小さいとき、

<tex>
\ddot{\bm{r}}_1 = ( 0 , 0 , F \cos \omega t )^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\ddot{\bm{r}}_2 = ( 0 , 0 , - F \sin \omega t )^T \tag{##}
</tex>

これからしたいことは、この式を時間 $t$ で積分することです。初期速度を求める為、
式 $(1)$ , $(2)$ を時間で微分して $t=0$ と置いたもの
を $ \dot{\bm{r}}_{10} $ , $ \dot{\bm{r}}_{20} $ とすると、

<tex>
\dot{\bm{r}}_{10} = (- R \omega \sin \omega t , R \omega \cos \omega t , 0) ^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\dot{\bm{r}}_{20} = (- R \omega \cos \omega t , - R \omega \sin \omega t , 0) ^T \tag{##}
</tex>

また、初期位置は式 $(1)$ , $(2)$ で $t=0$ と置いたものなので、
それぞれ $ \bm{r}_{10} $ , $ \bm{r}_{20} $ と置くと、

<tex>
\bm{r}_{10} = (R , 0 , 0)^T \tag{##}
</tex>

<tex>
\bm{r}_{20} = (0 , R , 0)^T \tag{##}
</tex>

です。

式 $(5)$ , $(6)$ を時間 $ 0 $ から $ t $ まで定積分してやると、

<tex>
\dot{\bm{r}}_1 &= \dot{\bm{r}}_{10} + \int_0^t 
\begin{pmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
\dfrac{F}{m} \cos \omega t
\end{pmatrix}
dt \\
&=
\begin{pmatrix} 
- R \omega \sin \omega t \\
 R \omega \cos \omega t \\
 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 
0 \\
0 \\
\dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
- R \omega \sin \omega t \\
 R \omega \cos \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

さらに定積分して、

<tex>
\bm{r}_1 &= \bm{r}_{10} + \int_0^t 
\begin{pmatrix} 
- R \omega \sin \omega t \\
 R \omega \cos \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t
\end{pmatrix}
dt \\
&=
\begin{pmatrix} 
R \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 
 R (\cos \omega t -1) \\
 R \sin \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega^2}(- \cos \omega t + 1)
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
 R \cos \omega t \\
 R \sin \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t)
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

質点２についても同様に計算すると、

<tex>
\dot{\bm{r}}_2 &= \dot{\bm{r}}_{20} + \int_0^t 
\begin{pmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
- \dfrac{F}{m} \sin \omega t
\end{pmatrix}
dt \\
&=
\begin{pmatrix} 
- R \omega \cos \omega t \\
- R \omega \sin \omega t \\
 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 
0 \\
0 \\
\dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1)
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
- R \omega \cos \omega t \\
- R \omega \sin \omega t \\
\dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1)
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

さらに定積分をして、

<tex>
\bm{r}_2 &= \bm{r}_{20} + \int_0^t 
\begin{pmatrix} 
- R \omega \cos \omega t \\
- R \omega \sin \omega t \\
\dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1)
\end{pmatrix} dt \\
&=
\begin{pmatrix} 
0 \\
R \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 
 - R \sin \omega t \\
 R (\cos \omega t - 1 )\\
 \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t )
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
 - R \sin \omega t \\
   R \cos \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t )
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

以上をまとめると、

<tex>
\bm{r}_1 &=
\begin{pmatrix} 
 R \cos \omega t \\
 R \sin \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t)
\end{pmatrix} \\
\bm{r}_2 &=
\begin{pmatrix} 
 - R \sin \omega t \\
   R \cos \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t )
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。

動きの解析
=========================

ここで、 $\bm{r}_1$ , $\bm{r}_2$ の作る平面に垂直なベクトルを考えます。
つまり、回転軸がどう振る舞うかを考えるのです。
それには、外積を使えば求められますね。
その値は、ｚ軸の正の方向を向いたものを計算すると、

<tex>
\bm{n}
&= \bm{r}_1 \times \bm{r}_2 \\ 
&=
\begin{pmatrix} 
 R \cos \omega t \\
 R \sin \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t)
\end{pmatrix} \\
\times
\begin{pmatrix} 
 - R \sin \omega t \\
   R \cos \omega t \\
 \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t )
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
  \dfrac{F R}{m \omega^2} \left(\sin^2 \omega t - \omega t \sin \omega t + \cos^2 \omega t - \cos \omega t \right) \\
  \dfrac{F R}{m \oemga^2} \left(\omega t \cos \omega t - \sin \omega t \right) \\
  R^2
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 
  \dfrac{F R}{m \omega^2} \left(- \omega t \sin \omega t + ( 1 - \cos \omega t ) \right) \\
  \dfrac{F R}{m \oemga^2} \left(\omega t \cos \omega t - \sin \omega t \right) \\
  R^2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

ここで高次の項を無視すると、 $\bm{n}=(n_x,n_y,n_z)^T$ は、 $\dfrac{FR}{m} \equiv \alpha$ と置くと、

<tex>
n_x &= - \dfrac{-\alpha}{2}t^2 \\
n_y &= - \alpha \omega t^3 \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
t^6 = \left( \dfrac{y}{\alpha \omega} \right)^2 = - \left( \dfrac{2 x }{\alpha} \right)^3
</tex>

となります。式 $()$ 

@@author:クロメル@@
@@accept:2011-11-4@@
@@category:力学@@
@@id:spinningTop@@