#rst2hooktail_source ============================================================ 電位差を生じたレール上を動く金属棒と特殊相対論 ============================================================ .. image :: chromel-railAndRod-01-t.png 上の図のようなレールと金属棒からなる系を考えます。 電池の電圧を $V$ 、回路を流れる電流を $I$ 、 レールの間隔を $L$ 、そのレールの間に掛かる上向きの磁束密度 $\bm{B}$ 棒の質量を $m$ 、抵抗を $R$ 、左向きの速度を $v$ とします。 この系がどんな振る舞いをするか、いろいろな立場で考えます。 特殊相対論以前の考え方 ========================== これからしたいことは、棒の運動速度 $v$ を時間 $t$ で表すことです。 すると、回路の方程式は $B \equiv |\bm{B}|$ として、 <tex> V - BLv= R I \tag{##} </tex> です。この式は(起電力)=(抵抗損失)となっています。 右辺はいいですね?抵抗損失は(抵抗)×(電流)なので、 $RI$ です。 起電力の方は、 $V$ だけでなく、金属棒が磁束密度中を動くことによって、 生じる起電力 $BLv$ が加わっています。符号のチェックは、 棒が速く動く( $v$ が大きくなる)と、起電力がゼロに近づいていく ので、これでOKです。 また、棒の運動方程式は、重力加速度 $g$ 、動摩擦係数を $\mu$ として、 <tex> m \dot{v}= BLI - \mu mg \tag{##} </tex> です。磁束密度 $B$ 中を電流 $I$ が流れると、長さ $L$ それぞれに 比例した力が生じるというものです。今回の場合、力は左に働きます。 それは、ローレンツ力 $\bm{F}=q(\bm{v} \times \bm{B})$ の関係から、 確認できます。 さて、式 $(1)$ と式 $(2)$ を見てみると、 時間依存する未知量は棒の速度 $v$ と電流 $I$ だと分かります。 解くには $I$ を消去するのが簡単そうです。やってみましょう。 式 $(2)$ より、 <tex> I = \dfrac{m (\dot{v}+ \mu g)}{BL} \tag{##} </tex> となります。 これを式 $(1)$ に代入して、 <tex> \dfrac{m R}{BL}\dot{v}= V - B L v - \dfrac{R \mu m g}{BL} \tag{##} </tex> ここで、 $V-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \geq 0$ と仮定します [*]_ 。 $\dot{v}=0$ の時、 つまり棒は終端速度 $v=\dfrac{V}{BL} \left(1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)$ を持つことがわかります。 いつまでたっても、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)$ であることを注意しておきます。 .. [*] この仮定が成り立たない時は、棒を駆動する電力が摩擦力を下回る時ですので、自明な解 $v=0 , I=\dfrac{V}{R}$ となりま す。ちなみにこの時、式 $(2)$ は摩擦力を $M$ として、 $m \dot{v}= BLI - M =0$ となります。 さて、これは変数分離形ですね。( $v$ の関数)=( $t$ の関数)の形にします。 <tex> \dfrac{1}{BL}\dfrac{\dfrac{dv}{dt}}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)-v}=\dfrac{BL}{mR} \tag{##} </tex> 初期条件として $t=0$ で、棒は静止している、つまり、 $v=0$ とします。 不定積分として一時的に積分定数を持ち出すこともできますが、 ここは、定積分で求めることにします。 <tex> \int_0^v \dfrac{1}{BL}\dfrac{dv}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)-v}= \int_0^t \dfrac{BL}{mR}dt \tag{##} </tex> と、このように実行すると、 <tex> \log \left| \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)-v}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) } \right| = - \dfrac{B^2L^2}{mR}t \tag{##} </tex> ここで、対数関数の引数の絶対値を外すのに少し考えなければなりません。 先ほど、 $v \leq \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) $ を満たすことを注意しました。 どうやら、 <tex> \log \left( \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) - v}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)} \right) = - \dfrac{B^2L^2}{mR}t \tag{##} </tex> ということでよいようです。 さて、この両辺を指数関数の肩に乗せましょう。 すると、 <tex> \dfrac{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)-v}{\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)}=e^{-\dfrac{B^2L^2}{mR}t} \tag{##} </tex> となります。これを $v$ について解いてやれば、 <tex> v = \dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right) \left( 1 - e^{-\dfrac{B^2L^2}{mR}t} \right) \tag{##} </tex> .. image :: chromel-railAndRod-02-t.png 確認のため、いろいろチェックしてみます。 まず、 $t=0$ の時に $v=0$ 、いいですね。 そして、十分時間がたつと、終端速度 $\dfrac{V}{BL} \left( 1-\dfrac{R \mu mg}{VBL} \right)$ にいくのも予想した通りです。 また、一番最初の棒が運動していない時、 $I_0 \equiv I(t=0) = \dfrac{V}{R}$ と置くと、 <tex> m \dot{v} = \left( \dfrac{BLV}{R} - \mu mg \right)e^{-\dfrac{B^2L^2}{mR}t} \tag{##} </tex> より、 <tex> m \dot{v}(t=0) = BLI_0 - \mu mg \tag{##} </tex> となり、式 $(2)$ と比較すれば、正しい結果であることが分かります。 一応、 $I$ も確認しておくと、 <tex> I &= \dfrac{m \dot{v} + \mu mg}{BL} \\ &= \left( \dfrac{V}{R} - \dfrac{\mu mg}{BL} \right) e^{-\dfrac{B^2L^2}{mR}t} + \dfrac{\mu mg}{BL} \tag{##} </tex> .. image :: chromel-railAndRod-03-t.png と、このようになりました。 @@reference: 川村清,「岩波基礎物理シリーズ3」電磁気学, 岩波書店, 1994, p175-p186, 4000079239@@ @@reference: 佐藤勝彦,「岩波基礎物理シリーズ9」相対性理論, 岩波書店, 1996, p39, 4000079298@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2012-06-10@@ @@category:電磁気学@@ @@id:railAndRod@@