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多変数の微分関数の逆変換
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皆さんは、極座標つまり $(x,y)$ と $(r , \theta)$ の変換行列（ヤコビアン）を見て [*]_ 、
.. [*] $r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x)$ ですね。
<tex>
\dfrac{dr}{dx} \neq (\dfrac{dx}{dr})^{-1} \tag{##}
</tex>
であることに戸惑った経験はありませんか？
そういうことができるのは、どんな時なのかということについて調べてみました。
具体例(２次元極座標)
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<tex>
x = r \cos \theta, y = \sin \theta \tag{##}
</tex>
<tex>
r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) \tag{##}
</tex>
の微分形式を考えてみます。
<tex>
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dr}{dx} & \dfrac{dr}{dy} \\
\dfrac{d \theta}{dx} & \dfrac{d \theta}{dy}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta /r & \cos \theta /r
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
そして逆変換は、
<tex>
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dx}{dr} & \dfrac{dx}{d \theta} \\
\dfrac{dy}{dr} & \dfrac{dy}{d \theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ですね。確かに、
<tex>
\dfrac{dr}{dx} = \cos \theta \neq (\cos \theta)^{-1} (\dfrac{dx}{dr})^{-1} \tag{##}
</tex>
<tex>
\dfrac{d \theta}{dy} = \cos \theta/r \neq (r \cos \theta)^{-1} = (\dfrac{dy}{d \theta })^{-1} \tag{##}
</tex>
と逆関数の微分法は成り立っていないようです。
一般論
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ここで、一般的な場合に拡張して関係を調べてみましょう。変数同士の変換行列のランクを落とさないと仮定して、
二対二組 $(a,b),(x,y)$ の変数間の変換を考えます。
<tex>
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{da}{dx} & \dfrac{da}{dy} \\
\dfrac{db}{dx} & \dfrac{db}{dy}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立していたとすると、仮定より、
上式の行列は逆を持ちます。すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{1}{\dfrac{da}{dx}\dfrac{db}{dy}-\dfrac{db}{dx}\dfrac{da}{dy}}
\begin{pmatrix}
\dfrac{db}{dy} & -\dfrac{da}{dy} \\
-\dfrac{db}{dx} & \dfrac{da}{dx}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \\
&\equiv J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{db}{dy} & -\dfrac{da}{dy} \\
-\dfrac{db}{dx} & \dfrac{da}{dx}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。ここで記号 $\equiv$ はこれでヤコビアン $J$ を定義するという意味です。
これと、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dx}{da} & \dfrac{dx}{db} \\
\dfrac{dy}{da} & \dfrac{dy}{db}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と比較します。すると、
<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{db}{dy} & -\dfrac{da}{dy} \\
-\dfrac{db}{dx} & \dfrac{da}{dx}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{dx}{da} & \dfrac{dx}{db} \\
\dfrac{dy}{da} & \dfrac{dy}{db}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立します。
再び極座標
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さて、得られた結果の検証をしてみましょう。 $(a,b,x,y) \to (r,\theta,x,y) $ とすると、
まず、
<tex>
J = 1/r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1/r \tag{##}
</tex>
となります。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-24@@
@@category:熱力学@@
@@id:invOfDifOfMPF@@
記事ソース/多変数の微分関数の逆変換 のバックアップの現在との差分(No.1)
