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線形演算子
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ケットと線形演算子
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前の記事では，ブラはケットと組み合わさることでスカラー値を生成する線形関数のことでした．
今度考える線形演算子は，ケットと組み合わさることで，ケットを生成する線形関数です．
あるケット $|A \rangle $ の関数である $|F \rangle $ を考えます．
この二つのベクトルは，成分が定数である定ベクトルではなく，
成分に変数を含みます． $|A \rangle $ に対応するケットを $|F_A \rangle $ と書くことにすると，
線形関数が線形であるための条件を表すことができます． $|A \rangle + |A^\prime \rangle $
は $|F_A \rangle + |F_A^\prime \rangle $ に
対応し， $c$ を定数とすると $c|A \rangle $ は $c|F_A \rangle $ に対応するという条件です．この条件の
下で $|F \rangle $ は $|A \rangle $ に線形演算子 $\alpha$ を施したものとして，
<tex>
|F \rangle = \alpha |A \rangle
</tex>
と表します．演算子が線形であるための条件をあらためて書くと
<tex>
\alpha \{ |A \rangle + |A^\prime \rangle \} = \alpha |A \rangle + \alpha |A^\prime \rangle \tag{1}
</tex>
<tex>
\alpha \{ c | A \rangle \} = c \alpha | A \rangle \tag{2}
</tex>
となります．
線形演算子は，すべてのケットに対して値が与えられた時，完全に定義されます．そしてすべてのケットに対し，ゼロベクトルを生じる演算子はゼロとします．またすべてのベクトルに対し，二つの演算子が同じケットを生じる時，二つの演算子は等しいといいます．
次に線形演算子の和を次のように定義します．
<tex>
\{ \alpha + \beta \}|A \rangle = \alpha |A \rangle + \beta | A \rangle \tag{3}
</tex>
式 (1) と (3) から線形演算子とケットは分配法則を満たします．
そしてまた二つの演算子は掛け合わせることができます．
<tex>
\{ \alpha \beta \}| A \rangle = \alpha \{ \beta | A \rangle \}
</tex>
よって結合法則が成り立ち，これはかっこを省略して $\alpha \beta | A \rangle $ と書きます．
一般的には交換法則は成り立たず，
<tex>
\alpha \beta | A \rangle \neq \beta \alpha | A \rangle \tag{4}
</tex>
となってしまいます．これの特別な場合で式 (4) が等号になるとき二つの演算子は交換可能であるといいます．
もしケットを定数 $k$ 倍する操作を考えると， $k$ は線形演算子の特殊な場合となります． $k$ 倍は
ケットをケットに移し，式 (1) と式 (2) の $\alpha$ を $k$ で置き換えると満たすからです．
このとき，この定数はすべての線形演算子と交換可能です．
ブラと線形演算子
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ここまでは，ケットに演算子を作用させることを考えてきましたが，
今度はブラに作用させてみます．任意のブラ $\langle B | $ と $\alpha | A \rangle $ のスカラー積を作ります．
このスカラー積はケット $| A \rangle$ に線形に依存します．
よってブラはケットと組み合わさって線形なスカラー積を作るものという定義から，
このスカラー積はケット $| A \rangle$ にあるブラが作用したものと考えられます．
そのブラはやはり $ \langle B|\alpha|A \rangle $ が $\langle B |$ にも線形に依存することから
， $\langle B | $ にある線形演算子 $\beta$ が作用したものと考えられます．
この $ \beta $ は $ \alpha $ に対し一意的に決定されるので，
この演算子 $\beta$ をケットに対する演算子と同じ $\alpha$ という文字で表すと合理的です．
式で表すと
<tex>
\{ \langle B | \beta \} |A \rangle = \{ \langle B | \alpha \}| A \rangle \equiv \langle B | \{ \alpha | A \rangle \}
</tex>
これが $\langle B | \alpha $ の定義式です．
ブラとケットのダイアド積
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今度は， $|A \rangle \langle B |$ という積を考えてみます．
任意のケット $|P \rangle $ を右から掛けてみます．
すると， $|A \rangle \langle B | P \rangle $ となり $|A \rangle $ の
スカラー $\langle B | P \rangle $ 倍のケットベクトルになります．
しかも， $| P \rangle$ に対し線形性を持っています．また， $\langle Q |$ を左から掛ける操作に対しても，
同様に線形性を持ったブラになります．
このことから， $|A \rangle \langle B |$ は線形演算子だと分かります．
後ほど別の記事で行列表示について書きますが、その行列表示をすると，この積はダイアド積であることも
分かります．
ダイアド積のことは、 続ベクトルの回転_ の中ほどに書いてあります。
物理的意味
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これまでベクトルや演算子について考えてきました．
結合法則と分配法則は成り立ちましたが，交換法則だけは成り立ちませんでした．
それらのベクトルや演算子と現実の物理系との関係に対して，
量子力学ではどう解釈しているのかについて書きます．
ベクトルはある時間の系の状態に対応しています．
ただしその大きさや位相因子 $e^{i \gamma}$ （ただし $\gamma$ は実数）は意味を持ちません，
方向なのは重要です．そして線形演算子は，
その時間の物理的変数に対応します．
物理的変数とは古典力学もこれらが組み上げていますが，
位置，一部分の速度，粒子の運動量や角運動量，
またハミルトニアンなどそれらでできる関数です．
この概念が量子力学でも出てくるのです．
ただし決定的な違いとして，古典力学では交換法則は成り立ちましたが，
量子力学では交換法則は成り立ちません．
それでも古典力学に対応した概念が多くあり，
古典力学に類似した理論が組み上げられていきます．
@@reference: P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (fourth edition), Oxford University Press（みすず書房）, 1958, 23-26, 4622025124@@
.. _ブラベクトルとケットベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/quantum/braKetVector/
.. _続ベクトルの回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vectorRot2/
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-02-26@@
@@category:量子力学@@
@@id:linearOperator@@
記事ソース/線形演算子 のバックアップ差分(No.2)
