これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細).
============================================================ 先端放電 ============================================================ 電荷が作る電場は、尖ったものの先端において、大きくなり 電子を放出、しやすくなります。どんな電界が生じるのかを 書くことにします。 簡単のため、下図の様な二次元極座標 $(r,\theta)$ で考えます。 金属表面は等電位面であります。しかし、表面電荷はそんざいします。 .. image :: chromel-sentan-01-t.png 真空におけるラプラス方程式は、 <tex> \vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}( r \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right) V(r,\theta) = 0 \tag{##} </tex> ここで、変数分離法を用い、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の常微分方程式に還元してやります。 つまり、 $V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ と仮定して、式 $(1)$ に代入するのです。 すると、 <tex> r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})*\Theta + \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}R=0 \tag{##} </tex> 両辺 $R\Theta$ で割って、移項すれば、 <tex> r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})/R = - \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}/\Theta \tag{##} </tex> これは、左辺が $r$ のみの関数、右辺が $\theta$ のみの関数なので、 $r$ の式ではなく、 $\theta$ の式でもなく、 これは実定数 $(k>0)$ の二乗 $k^2$ [*]_ に等しいことが分かります。 .. [*] $k^2$ が負だと $r$ 方向の方程式が、虚数の解をもつことになるので、物理的に意味のない方程式になります。 よって、この式は、 <tex> \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Theta \tag{##} </tex> <tex> r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})= r \frac{\partial}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2} = k^2 R \tag{##} </tex> 式 $(4)$ は、単振動でお馴染みの式ですね。これをとくと、 <tex> \Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{##} </tex> 境界条件 $\theta=0 , 2\pi-\alpha $ の時、 $k \times 0 + \phi= 0 $ , $k(2\pi-\alpha)+ \phi = 2\pi $ とします。つまり、 $\phi=0$ , $ k=\dfrac{2\pi}{2\pi-\alpha} $ となります。 これで、 $\theta$ 方向は解けました。次は動径方向です。 $R=r^d$ と仮定すると、式 $(5)$ より、 <tex> r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} = k^2 r^d \tag{##} </tex> よって、 $d^2=k^2$ が得られます。無限遠でポテンシャルが発散しないために、 $d=-k<0$ が必要となります。 以上合わせて、ポテンシャル $V=R \Theta$ は、 <tex> V(r,\theta)=r^{-k} \sin k \theta\ \ \ \ (\mathrm{when}\ \ k=\frac{2\pi}{2\pi-\alpha}) \tag{##} </tex> ここで、物理的な解釈をすると、金属の尖り方が、十分鋭い( $\alpha \to 0$ )時では、 ポテンシャルは、 $r^{-1/2}$ に近づいていきます。それだけ、頂点には大きな電場が生じるのです。 それでは、今日はここまで。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-11-21@@ @@category:電磁気学@@ @@id:sentan@@