記事ソース/先端放電 のバックアップ(No.12)
記事ソース/先端放電 のバックアップ(No.12)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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先端放電
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電荷が作る電場は、尖ったものの先端において、大きくなり
電子を放出、しやすくなります。どんな電界が生じるのかを
書くことにします。
簡単のため、下図の様な二次元極座標 $(r,\theta)$ で考えます。
金属表面は等電位面であります。しかし、表面電荷はそんざいします。
.. image :: chromel-sentan-01-t.png
真空におけるラプラス方程式は、
<tex>
\vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}( r \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right) V(r,\theta) = 0 \tag{##}
</tex>
ここで、変数分離法を用い、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の常微分方程式に還元してやります。
つまり、 $V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ と仮定して、式 $(1)$ に代入するのです。
すると、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})*\Theta + \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}R=0 \tag{##}
</tex>
両辺 $R\Theta$ で割って、移項すれば、
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})/R = - \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}/\Theta \tag{##}
</tex>
これは、左辺が $r$ のみの関数、右辺が $\theta$ のみの関数なので、 $r$ の式ではなく、 $\theta$ の式でもなく、
これは実定数$(k>0)$の二乗 $k^2$ [*]_ に等しいことが分かります。
.. [*] $k^2$ が負だと $r$ 方向の方程式が、虚数の解をもつことになるので、物理的に意味のない方程式になります。
よって、この式は、
<tex>
\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Theta \tag{##}
</tex>
<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})= r \frac{\partial}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2} = k^2 R \tag{##}
</tex>
式 $(4)$ は、単振動でお馴染みの式ですね。これをとくと、
<tex>
\Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{##}
</tex>
一番簡単な、接面（ポテンシャルがゼロになる面）が金属表面のみにしかない時を考えたいので、
境界条件 $\theta=0 , 2\pi-\alpha $ の時、 $k \times 0 + \phi= 0 $ , $k(2\pi-\alpha)+ \phi = \pi $
とします。つまり、 $\phi=0$ , $ k=\dfrac{\pi}{2\pi-\alpha} $ となります。
これで、 $\theta$ 方向は解けました。次は動径方向です。$R=r^d$と仮定すると、式 $(5)$ より、
<tex>
r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} = k^2 r^d \tag{##}
</tex>
よって、 $d^2=k^2$ が得られます。無限遠でポテンシャルが発散しないために、 $d=-k<0$
が必要となります。
以上合わせて、ポテンシャル $V=R \Theta$ は、
<tex>
V(r,\theta)=r^{-k} \sin k \theta\ \ \ \ (when k=\frac{\pi}{2\pi-\alpha}) \tag{##}
</tex>
ここで、物理的な解釈をすると、金属の尖り方が、十分鋭い( $\alpha \to 0$ )時では、
ポテンシャルは、 $r^{-1/2}$ に近づいていきます。それだけ、頂点には大きな電場が生じるのです。
ちなみに電場も書いておくと、グラディエントの二次元（z方向を無視した円筒座標）の公式、
<tex>
\nabla V = \frac{\partial V}{\partial r}\bm{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\bm{e}_\theta
</tex>
となりますから。
<tex>
(E_r,E_\theta)=(-k r_{-k-1} \sin k \theta, )
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-11-21@@
@@category:電磁気学@@
@@id:sentan@@
