#rst2hooktail_source ============================================================ 絶対値等の取り扱いに関する諸注意(主に高校数学の範囲から) ============================================================ ここでは雑多な問題に対して、私が「注意しなければならないな。」 と思ったことをいくつか書いていきます。 (1)対数関数の微分 ============================= まずは、示すべき式を見てみましょう。 <tex> \frac{d}{dx}(log_e|x|)= \frac{1}{x} \tag{##} </tex> です。 底がaの対数関数の微分 ---------------------------- まずは、 <tex> \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x}log_a e \tag{##} </tex> を示します。 $x>0$ の時、以下のようになります。 <tex> \frac{d}{dx} \log_a x &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_a (x+h)-\log_a x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x}) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \log_a (1+\frac{h}{x}) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_a (1+\frac{h}{x})^{x/h} \tag{##} </tex> ここで、 $\frac{h}{x}=t$ とおくと、 <tex> \frac{d}{dx} \log_a x = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_a(1+t)^{1/t} \tag{##} </tex> となります。ここで、 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t}$ はある定数 $e=2.718...$ に [*]_ 収束します。 .. [*] この $e$ のことを、自然対数の底とか、ネイピア数と呼びます。 よって、式 $(4)$ は、次のようになります。 <tex> \frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{1}{x} \log_a e \\ &= \frac{1}{x \log_e a} \tag{##} </tex> これで、式 $(2)$ が示せました。 特に、底がネイピア数 $e$ の時の微分は簡単になり、 <tex> \frac{d}{dx} \log_e x = \frac{1}{x} \tag{##} </tex> となります。だんだん式 $(1)$ に近づいてきましたね。 式(1)の導出 -------------------------- 次に、 $\log_e|x|$ の微分に範囲を拡張します。今までで $x>0$ の時は考えたので、 $x<0$ の時を考えます。この時、 <tex> \frac{d}{dx} \log_e |x| &= \frac{d}{dx} \log_e (-x) \\ &= \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) \\ &= \frac{1}{x} \tag{##} </tex> よって、式 $(1)$ が示せました。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-06-05@@ @@category:物理数学@@ @@id:needAttention@@