記事ソース/絶対値等の取り扱いに関する諸注意（主に高校数学の範囲から） のバックアップ(No.2)
記事ソース/絶対値等の取り扱いに関する諸注意（主に高校数学の範囲から） のバックアップ(No.2)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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絶対値等の取り扱いに関する諸注意（主に高校数学の範囲から）
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ここでは雑多な問題に対して、私が「注意しなければならないな。」
と思ったことをいくつか書いていきます。
（１）対数関数の微分
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まずは、示すべき式を見てみましょう。
<tex>
\frac{d}{dx}(log_e|x|)= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
です。
底がaの対数関数の微分
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まずは、
<tex>
\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x}log_a e \tag{##}
</tex>
を示します。 $x>0$ の時、以下のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_a (x+h)-\log_a x}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x}) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \log_a (1+\frac{h}{x}) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_a (1+\frac{h}{x})^{x/h} \tag{##}
</tex>
ここで、 $\frac{h}{x}=t$ とおくと、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_a(1+t)^{1/t} \tag{##}
</tex>
となります。ここで、 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t}$ はある定数 $e=2.718...$ に [*]_ 収束します。
.. [*] この $e$ のことを、自然対数の底とか、ネイピア数と呼びます。
よって、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{1}{x} \log_a e \\
&= \frac{1}{x \log_e a} \tag{##}
</tex>
これで、式 $(2)$ が示せました。
特に、底がネイピア数 $e$ の時の微分は簡単になり、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e x = \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
となります。だんだん式 $(1)$ に近づいてきましたね。
式（１）の導出
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次に、 $\log_e|x|$ の微分に範囲を拡張します。今までで $x>0$ の時は考えたので、 $x<0$ の時を考えます。この時、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e |x| &= \frac{d}{dx} \log_e (-x) \\
&= \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) \\
&= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
よって、式 $(1)$ が示せました。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-06-05@@
@@category:物理数学@@
@@id:needAttention@@
