#rst2hooktail_source ============================================================ 時間順序積 ============================================================ 時間順序積(time-ordered product、T-productとも言う。)の計算は、 どうやってすればいいのという方むけです.逐次近似の三次の項まで、 計算してみました。 前の記事は、 相互作用表示_ です。 時間順序積 =================== 今回の話は前記事の最後に出てきた逐次近似から始まります。 <tex> |\psi_I(t)\rangle &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (t_1) \rangle \\ &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (0) \rangle +(-\frac{i}{\hbar})^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)| \psi_I (t_2) \rangle \\ &= \sum^\infty_{n=0} (-\frac{i}{\hbar})^n \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)|\psi_I(0)\rangle \tag{##} </tex> さて、ここで、時間順序演算子 $T$ を導入します。これは次のように非可換な演算子を時間の順に並べ替える演算子です。 <tex> T\{\hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime)\}= \begin{cases} \hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime) \ \ \ \ \ (t>=t^\prime) \\ \hat{B}(t^\prime)\hat{A}(t) \ \ \ \ \ (t<t^\prime) \end{cases} \tag{##} </tex> 三つ以上の積の場合も、同様に時間がおおきい順に左から並べ替えます。 すると、 <tex> \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n) =\frac{1}{n!}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t}dt_n T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)\} \tag{##} </tex> が成立するというのです。今回は、3次の項まで計算で確認してみます。 演算子 $\hat{V}_I(t)$ は、異なる $t$ の間では、交換できないことに注意してください。 つまり、 $\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \neq \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \ \ \ (t_1 \neq t_2) $ です。 1次の式 ============= <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 T \{\hat{V}_I(t_1)\} = \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \tag{##} </tex> は、 $T \{\hat{V}_I(t)\}=\hat{V}_I(t)$ なので簡単ですね。 2次の式 ============= <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\} &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##} </tex> ここで、あとの議論のため、ある記号の約束をしておきます、 <tex> \int_{t_0}^{t} dt \hat{V}_I(t) = \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0) \tag{##} </tex> <tex> \frac{d\hat{F}(t)}{dt}= \hat{V}_I \tag{##} </tex> このように $\hat{F}$ を決めました。つまり、 $\hat{F}$ は、 $\hat{V}_I$ の原始関数です。 式 $(5)$ の右辺第1項は、 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 {V}_I(t_2) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_0) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\ &= \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \hat{F}(t_1) \right]^{t}_{t_0} \hat{F}(t_0) \\ &= \frac{1}{2}(\hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0))-(\hat{F}(t)-\hat{F}(t_0))\hat{F}(t_0) \\ &= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##} </tex> 一方、式 $(5)$ の右辺第2項は、 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \left( \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2) \right) \hat{V}_I(t_1) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \{ \hat{F}(t)-\hat{F}(t_1) \} \hat{V}_I(t_1) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{F}(t) \hat{V}_I - \hat{F}(t_1)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \\ &= \hat{F}(t)\left[ \hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \\ &= \hat{F}(t)\left( \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0) \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##} </tex> よって、 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)} &= \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \\ &= 2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \tag{##} </tex> が示せました。 3次の式 ============= いよいよ三次の式です。 $t_1,t_2,t_3$ の大小の組み合わせは6通りなので、積分を6つの部分の和に分割します。 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\} &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_1}^{t} dt_3 \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_1}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1) \\ &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_2}^{t} dt_3 \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##} </tex> .. image :: chromel-t-Product-01-t.png これは結構大変ですね。でも、やることは同じです。右辺前半の三項は $t_1>t_2$ の時を表し、 後半の三項は $t_2>t_1$ のときを表します。 式 $(11)$ の右辺第1項を計算します。 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \hat{F}(t_2) - \hat{F}(t_0) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \hat{F}(t_2) - \hat{V}_I(t_2) \hat{F}(t_0) \right) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} - \left[ \hat{F}(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \hat{F}(t_0) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\left(\hat{F}^2(t_1) - \hat{F}^2(t_0) \right ) - \left( \hat{F}(t_1) - \hat{F}(t_0) \right) \hat{F}(t_0) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{1}{2} \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}^2(t_1) - \frac{1}{2}\hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0) - \frac{d\hat{F}}{dt} \hat{F}(t_1) \hat{F}(t_0) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0) \\ &= \left[ \frac{1}{6}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \frac{1}{2} \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) + \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\ &= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right) </tex> 同様に、式 $(11)$ の右辺第2項を計算します。 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \hat{V}_I(t_2) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_2) \right) \hat{V}_I(t_2) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \hat{F}(t_1)\hat{V}_I(t_2)-\hat{F}(t_2)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1) \left[ \hat{F}_I(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}^2(t_1) - \hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) + \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \right) \\ &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}(t_1)^2 - \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}^2(t_1) + \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \\ &= \left[ \frac{1}{3}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) - \frac{1}{6}\left[ \hat{F}^3(t_1)\right]_{t_0}^{t} + \frac{1}{2} \left[\hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\ &= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right) </tex> うーん、申し訳ないのですが、これを全部計算するのはたいへんなので、雰囲気が分かればそれでよし、と考えたいと思います。 おそらくは、次の式が成り立ちます。結果がきれいなので間違いはないと思われます。 <tex> \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\} &= \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \\ &= 3! \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) </tex> それでは今日はこのへんで。 .. _相互作用表示 : http://hooktail.sakura.ne.jp/quantum/interRep/ @@author:クロメル@@ @@accept:2009-06-05@@ @@category:量子力学@@ @@id:t-Product@@