記事ソース/時間順序積のバックアップソース(No.1)

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- 1 (2010-02-02 (火) 15:01:55)
- 2 (2010-02-02 (火) 15:03:40)
- 3 (2010-02-08 (月) 00:33:22)
#rst2hooktail_source
============================================================
時間順序積
============================================================
 
時間順序積(time-ordered product、T-productとも言う。)の計算は、
どうやってすればいいのという方むけです．逐次近似の三次の項まで、
計算してみました。

前の記事は、 相互作用表示_ です。 

時間順序積
===================

今回の話は前記事の最後に出てきた逐次近似から始まります。

<tex>
|\psi_I(t)\rangle &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (t_1) \rangle \\
&= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (0) \rangle
+(-\frac{i}{\hbar})^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)| \psi_I (t_2) \rangle \\
&= \sum^\infty_{n=0} (-\frac{i}{\hbar})^n \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n
\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)|\psi_I(0)\rangle   \tag{##}
</tex>

さて、ここで、時間順序演算子 $T$ を導入します。これは次のように非可換な演算子を時間の順に並べ替える演算子です。

<tex>
T\{\hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime)\}= \begin{cases}
\hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime)   \ \ \ \ \ (t>=t^\prime)    \\
\hat{B}(t^\prime)\hat{A}(t)   \ \ \ \ \ (t<t^\prime)
\end{cases} \tag{##}
</tex>

三つ以上の積の場合も、同様に時間がおおきい順に左から並べ替えます。

すると、  
<tex>
\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n
\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n) 
=\frac{1}{n!}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t}dt_n
T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)\} \tag{##}
</tex> 

が成立するというのです。今回は、３次の項まで計算で確認してみます。
演算子 $\hat{V}_I(t)$ は、異なる $t$ の間では、交換できないことに注意してください。
つまり、 $\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \neq \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \ \ \ (t_1 \neq t_2) $ 
です。

１次の式
=============

<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 T \{\hat{V}_I(t_1)\} = \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1)  \tag{##}
</tex>

は、 $T \{\hat{V}_I(t)\}=\hat{V}_I(t)$ なので簡単ですね。

２次の式
=============

<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\}  
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##}
</tex>

ここで、あとの議論のため、ある記号の約束をしておきます、
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt \hat{V}_I(t) = \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0)  \tag{##}
</tex> 

<tex>
\frac{d\hat{F}(t)}{dt}= \hat{V}_I \tag{##}
</tex>

このように $\hat{F}$ を決めました。つまり、 $\hat{F}$ は、 $\hat{V}_I$ 	の原始関数です。

式 $(5)$ の右辺第１項は、
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) 
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 {V}_I(t_2) \right)  \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_0) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\
&= \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \hat{F}(t_1) \right]^{t}_{t_0} \hat{F}(t_0) \\
&= \frac{1}{2}(\hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0))-(\hat{F}(t)-\hat{F}(t_0))\hat{F}(t_0) \\
&= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##}
</tex>

一方、式 $(5)$ の右辺第２項は、
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) 
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \left( \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2) \right) \hat{V}_I(t_1) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \{ \hat{F}(t)-\hat{F}(t_1) \} \hat{V}_I(t_1) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{F}(t) \hat{V}_I - \hat{F}(t_1)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)   \\
&= \hat{F}(t)\left[ \hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \\
&= \hat{F}(t)\left( \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0) \right) \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)} 
&= \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \\
&= 2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \tag{##}
</tex>
が示せました。

３次の式
=============
いよいよ三次の式です。 $t_1,t_2,t_3$ の大小の組み合わせは6通りなので、積分を６つの部分の和に分割します。
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\}  
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_1}^{t} dt_3   \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t_1} dt_3   \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_1}^{t_2} dt_3   \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1) \\
&+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_2}^{t} dt_3     \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##}
</tex>

.. image: chromel-t-Product-01-t.png

これは結構大変ですね。でも、やることは同じです。右辺前半の三項は $t_1>t_2$ の時を表し、
後半の三項は $t_2>t_1$ のときを表します。
式 $(11)$ の右辺第１項を計算します。

<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \hat{F}(t_2) - \hat{F}(t_0) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1  \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \hat{F}(t_2) - \hat{V}_I(t_2) \hat{F}(t_0) \right) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1  \hat{V}_I(t_1) \left(  \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1}
 - \left[ \hat{F}(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \hat{F}(t_0) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\left(\hat{F}^2(t_1) - \hat{F}^2(t_0) \right )
 - \left( \hat{F}(t_1) - \hat{F}(t_0) \right) \hat{F}(t_0) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{1}{2} \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}^2(t_1) - \frac{1}{2}\hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0)
 - \frac{d\hat{F}}{dt} \hat{F}(t_1) \hat{F}(t_0) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0) \\
&= \left[ \frac{1}{6}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \frac{1}{2} \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0)
 - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) + \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\
&= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right)
</tex>

同様に、式 $(11)$ の右辺第２項を計算します。

<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) 
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \hat{V}_I(t_2) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_2) \right) \hat{V}_I(t_2) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \hat{F}(t_1)\hat{V}_I(t_2)-\hat{F}(t_2)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1) \left[ \hat{F}_I(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}^2(t_1) - \hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) + \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \right) \\
&= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}(t_1)^2 - \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}^2(t_1) + \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \\
&= \left[ \frac{1}{3}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) - \frac{1}{6}\left[ \hat{F}^3(t_1)\right]_{t_0}^{t} + \frac{1}{2} \left[\hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\
&= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right)
</tex>

うーん、申し訳ないのですが、これを全部計算するのはたいへんなので、雰囲気が分かればそれでよし、と考えたいと思います。
おそらくは、次の式が成り立ちます。結果がきれいなので間違いはないと思われます。
<tex>
\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\}  
&= \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \\
&= 3! \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) 
</tex>

それでは今日はこのへんで。

.. _相互作用表示 : http://hooktail.sakura.ne.jp/quantum/interRep/


@@author:クロメル@@
@@accept:2009-06-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:t-Product@@
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