記事ソース/時間順序積のバックアップの現在との差分(No.1)

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記事ソース/時間順序積は削除されています。
- 1 (2010-02-02 (火) 15:01:55)
- 2 (2010-02-02 (火) 15:03:40)
- 3 (2010-02-08 (月) 00:33:22)
追加された行はこの色です。
削除された行はこの色です。
 #rst2hooktail_source
 ============================================================
 時間順序積
 ============================================================
  
 時間順序積(time-ordered product、T-productとも言う。)の計算は、
 どうやってすればいいのという方むけです．逐次近似の三次の項まで、
 計算してみました。
 
 前の記事は、 相互作用表示_ です。 
 
 時間順序積
 ===================
 
 今回の話は前記事の最後に出てきた逐次近似から始まります。
 
 <tex>
 |\psi_I(t)\rangle &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (t_1) \rangle \\
 &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \hat{V}_I(t_1)| \psi_I (0) \rangle
 +(-\frac{i}{\hbar})^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)| \psi_I (t_2) \rangle \\
 &= \sum^\infty_{n=0} (-\frac{i}{\hbar})^n \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n
 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)|\psi_I(0)\rangle   \tag{##}
 </tex>
 
 さて、ここで、時間順序演算子 $T$ を導入します。これは次のように非可換な演算子を時間の順に並べ替える演算子です。
 
 <tex>
 T\{\hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime)\}= \begin{cases}
 \hat{A}(t)\hat{B}(t^\prime)   \ \ \ \ \ (t>=t^\prime)    \\
 \hat{B}(t^\prime)\hat{A}(t)   \ \ \ \ \ (t<t^\prime)
 \end{cases} \tag{##}
 </tex>
 
 三つ以上の積の場合も、同様に時間がおおきい順に左から並べ替えます。
 
 すると、  
 <tex>
 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}}dt_n
 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n) 
 =\frac{1}{n!}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t}dt_n
 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)\} \tag{##}
 </tex> 
 
 が成立するというのです。今回は、３次の項まで計算で確認してみます。
 演算子 $\hat{V}_I(t)$ は、異なる $t$ の間では、交換できないことに注意してください。
 つまり、 $\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \neq \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \ \ \ (t_1 \neq t_2) $ 
 です。
 
 １次の式
 =============
 
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 T \{\hat{V}_I(t_1)\} = \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1)  \tag{##}
 </tex>
 
 は、 $T \{\hat{V}_I(t)\}=\hat{V}_I(t)$ なので簡単ですね。
 
 ２次の式
 =============
 
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\}  
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、あとの議論のため、ある記号の約束をしておきます、
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt \hat{V}_I(t) = \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0)  \tag{##}
 </tex> 
 
 <tex>
 \frac{d\hat{F}(t)}{dt}= \hat{V}_I \tag{##}
 </tex>
 
 このように $\hat{F}$ を決めました。つまり、 $\hat{F}$ は、 $\hat{V}_I$ 	の原始関数です。
 
 式 $(5)$ の右辺第１項は、
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) 
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 {V}_I(t_2) \right)  \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_0) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}(t_0) \\
 &= \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \hat{F}(t_1) \right]^{t}_{t_0} \hat{F}(t_0) \\
 &= \frac{1}{2}(\hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0))-(\hat{F}(t)-\hat{F}(t_0))\hat{F}(t_0) \\
 &= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##}
 </tex>
 
 一方、式 $(5)$ の右辺第２項は、
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) 
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \left( \int_{t_1}^{t} dt_2 \hat{V}_I(t_2) \right) \hat{V}_I(t_1) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \{ \hat{F}(t)-\hat{F}(t_1) \} \hat{V}_I(t_1) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{F}(t) \hat{V}_I - \hat{F}(t_1)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)   \\
 &= \hat{F}(t)\left[ \hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \\
 &= \hat{F}(t)\left( \hat{F}(t)-\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t)-\hat{F}^2(t_0) \right) \right) \\
 &= \frac{1}{2} \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \tag{##}
 </tex>
 よって、
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)} 
 &= \left( \hat{F}^2(t) -2 \hat{F}(t)\hat{F}(t_0) + \hat{F}^2(t_0) \right) \\
 &= 2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \tag{##}
 </tex>
 が示せました。
 
 ３次の式
 =============
 いよいよ三次の式です。 $t_1,t_2,t_3$ の大小の組み合わせは6通りなので、積分を６つの部分の和に分割します。
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\}  
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_1}^{t} dt_3   \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t_1} dt_3   \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_1}^{t_2} dt_3   \hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_1) \\
 &+ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \int_{t_2}^{t} dt_3     \hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_1) \tag{##}
 </tex>
 
 .. image: chromel-t-Product-01-t.png
 
 これは結構大変ですね。でも、やることは同じです。右辺前半の三項は $t_1>t_2$ の時を表し、
 後半の三項は $t_2>t_1$ のときを表します。
 式 $(11)$ の右辺第１項を計算します。
 
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \left( \hat{F}(t_2) - \hat{F}(t_0) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1  \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \hat{F}(t_2) - \hat{V}_I(t_2) \hat{F}(t_0) \right) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1  \hat{V}_I(t_1) \left(  \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1}
  - \left[ \hat{F}(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \hat{F}(t_0) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\left(\hat{F}^2(t_1) - \hat{F}^2(t_0) \right )
  - \left( \hat{F}(t_1) - \hat{F}(t_0) \right) \hat{F}(t_0) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{1}{2} \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}^2(t_1) - \frac{1}{2}\hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0)
  - \frac{d\hat{F}}{dt} \hat{F}(t_1) \hat{F}(t_0) - \hat{V}_I(t_1) \hat{F}^2(t_0) \\
 &= \left[ \frac{1}{6}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \frac{1}{2} \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0)
  - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) + \left[ \hat{F}(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\
 &= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right)
 </tex>
 
 同様に、式 $(11)$ の右辺第２項を計算します。
 
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_3)\hat{V}_I(t_2) 
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1) \left( \int_{t_2}^{t_1} dt_3 \hat{V}_I(t_3) \right) \hat{V}_I(t_2) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2  \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1)-\hat{F}(t_2) \right) \hat{V}_I(t_2) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \left( \hat{F}(t_1)\hat{V}_I(t_2)-\hat{F}(t_2)\frac{d\hat{F}}{dt}(t_2) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}(t_1) \left[ \hat{F}_I(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_2) \right]_{t_0}^{t_1} \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \hat{V}_I(t_1) \left( \hat{F}^2(t_1) - \hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) + \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \right) \\
 &= \int_{t_0}^{t} dt_1 \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1) \hat{F}(t_1)^2 - \frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}(t_1)\hat{F}(t_0) - \frac{1}{2}\frac{d\hat{F}}{dt}(t_1)\hat{F}^2(t_1) + \hat{V}_I(t_1) \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_0) \\
 &= \left[ \frac{1}{3}\hat{F}^3(t_1) \right]_{t_0}^{t} - \left[ \frac{1}{2}\hat{F}^2(t_1) \right]_{t_0}^{t} \hat{F}(t_0) - \frac{1}{6}\left[ \hat{F}^3(t_1)\right]_{t_0}^{t} + \frac{1}{2} \left[\hat{F}(t_1)\right]_{t_0}^{t} \hat{F}^2(t_0) \\
 &= \frac{1}{6} \left( \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \right)
 </tex>
 
 うーん、申し訳ないのですが、これを全部計算するのはたいへんなので、雰囲気が分かればそれでよし、と考えたいと思います。
 おそらくは、次の式が成り立ちます。結果がきれいなので間違いはないと思われます。
 <tex>
 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \int_{t_0}^{t} dt_3 T\{\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3)\}  
 &= \hat{F}^3(t) -3\hat{F}^2(t)\hat{F}(t_0) +3\hat{F}(t)\hat{F}^2(t_0) -\hat{F}^3(t_0) \\
 &= 3! \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \int_{t_0}^{t_2} dt_3 \hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2)\hat{V}_I(t_3) 
 </tex>
 
 それでは今日はこのへんで。
 
 .. _相互作用表示 : http://hooktail.sakura.ne.jp/quantum/interRep/
 
 
 @@author:クロメル@@
 @@accept:2009-06-05@@
 @@category:量子力学@@
 @@id:t-Product@@
物理のかぎプロジェクト
