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三角関数の合成
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二つの三角関数
<tex>
a\sin\theta,\quad b\cos\theta
</tex>
を，一つの三角関数
<tex>
r\sin(\theta+\phi)
</tex>
の形に変形することができます．ここで
<tex>
r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}
</tex>
です．この関係は単振動の合成などで必要となります．
証明
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三角関数の合成の関係式を，天下り的に証明します．
まず，つぎの図のような直角三角形を考えます．
.. image:: fig1.png
.. image:: sakima-trifuncCombine-1.png
ここで $r=\sqrt{a^2+b^2}$ と置きます．すると図から
.. image:: fig5.png
.. image:: fig6.png
.. image:: sakima-trifuncCombine-2.png
.. image:: sakima-trifuncCombine-3.png
ということが分かります．つぎに $r\sin(\theta+\phi)$ を加法定理で展開します．
<tex>
r\sin(\theta+\phi) = r(\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)
</tex>
ここに先ほどの $\sin\phi$ ， $\cos\phi$ の値を代入して
<tex>
r\sin(\theta+\phi)
&= r\left(\sin\theta\cdot\frac{a}{r}+\cos\theta\cdot\frac{b}{r}\right)\\
&= a\sin\theta+b\cos\theta
</tex>
が得られ，冒頭で説明した関係式が正しいことが分かります．
この関係式は，図と一緒に覚えておくと間違いがなくて良いです．
また， $\phi$ は
<tex>
\sin\phi=\frac{b}{r},\quad \cos\phi=\frac{a}{r}
</tex>
の関係を満たす角度ですから， $\tan$ で表すと
<tex>
\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{b}{a}
</tex>
であり， $\phi=$ の形にするには逆三角関数にすれば良く，
<tex>
\phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}
</tex>
と表せます．
単振動の例
--------------
例として，二つの単振動
<tex>
A_1\sin(\omega t+\phi_1),\quad A_2\sin(\omega t+\phi_2)
</tex>
を足し合わせて一つの単振動に合成してみます．
まず，合成してできあがる単振動の式を
<tex>
A\sin(\omega t+\phi)
</tex>
と置いておきます．この段階では $A$ と $\phi$ はどんな値なのか分かりません．
未知数です．合成後の式を上のように置いたのですから，
<tex>
A\sin(\omega t+\phi) = A_1\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2) \tag{1}
</tex>
という方程式ができます．これから三角関数の合成をして，
いま未知数と置いた $A$ と $\phi$ を決めます．
加法定理で 式(1) の右辺を展開し，整理します．
<tex>
A_1&\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2)\\
&= A_1(\sin\omega t \cos\phi_1 + \cos\omega t \sin\phi_1) + A_2(\sin\omega t \cos\phi_2 + \cos\omega t \sin\phi_2)\\
&= (A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)\sin\omega t + (A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)\cos\omega t
</tex>
ここで，
<tex>
A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2=a,\quad A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2=b
</tex>
と書き換えてみますと 式(1) は
<tex>
A\sin(\omega t+\phi) = a\sin\omega t + b\cos\omega t
</tex>
と書けます．これは三角関数の合成の式そのものですね．したがって
<tex>
A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{a}{b}
A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}
</tex>
です． $a$ と $b$ を元に戻すと
<tex>
A &= \sqrt{(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)^2+(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)^2}\\
\phi &= \tan^{-1}\frac{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}
\phi &= \tan^{-1}\frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}
</tex>
が得られます．
@@author:崎間@@
@@accept:2004-11-1@@
@@category:物理数学@@
@@id:trifuncCombine@@
記事ソース/三角関数の合成 のバックアップの現在との差分(No.1)
