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剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く
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剛体の回転シリーズ番外編３です。
せっかく番外編２で剛体のハミルトニアンを求めたので、
剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない
剛体の運動方程式を導いてみました。
復習
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まず、ハミルトニアンを確認します。
剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。
<tex>
H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
&+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
&+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##}
</tex>
パラメータ $\lambda$ に対して、
<tex>
\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{##}
</tex>
<tex>
\dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{##}
</tex>
です。
ハミルトニアンの運動量での微分
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それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \}
\tag{##}
</tex>
ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。
<tex>
\alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{##}
</tex>
<tex>
\beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{##}
</tex>
すると、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\ p_\theta \\
&- \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{##}
</tex>
同様に、 $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ についても、
<tex>
\dot{\theta}
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times ( \sin \theta \cos \psi) \\
&= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{##}
</tex>
<tex>
\dot{\psi}
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\
&+ \frac{p_\psi}{I_z} \\
&= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \ p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{##}
</tex>
これらを行列で表示すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} &
\dot{\theta} &
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\
\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\
-\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \frac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
&\equiv
V
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。行列部分を、 $V$ で定義しました。
ハミルトニアンの位置座標での微分
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次は、式 $(3)$ を計算していきます。
まずは $\dot{p}_\phi$ を求める作業から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含まないので簡単ですね。
<tex>
\dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0
</tex>
次に、 $\dot{p}_\theta$ を求めます。これは、すこし面倒です。
<tex>
\dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\
&= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
&- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}
(\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\
&+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
&- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \}
(\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\
&= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \ p_\phi^2 \\
&+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \ p_\phi p_\theta \\
&- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\phi p_\psi \\
&+ 0 \times p_\theta^2 \\
&- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\theta p_\psi \\
&+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \tag{##}
</tex>
式 $(12)$ を二次形式の行列を使って表すと、
<tex>
\dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\
\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta \\
-\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix} \\
&\equiv
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\Theta
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
上の式の最後で、行列部分を $\Theta$ を使って定義しました。
次に、 $\dot{p}_\psi$ を求めます。
同様に、 $\dot{p}_\psi$ を求めると、
<tex>
\dot{p}_\psi &=
\dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\
&= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\
&+ \frac{-1}{i_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
&= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2
+ \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \ p_\phi p_\theta \\
&+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi p_\psi
+ \sin \psi \cos \psi \beta \ p_\theta^2 \\
&+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi
- \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \ p_\psi^2
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \\
&\equiv
\Psi
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。ちなみに、 $(\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha$ です。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-03-03@@
@@category:力学@@
@@id:equationOfRigidHamiltonian@@
記事ソース/剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く のバックアップ差分(No.12)
