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円錐曲線
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円錐を平面で切断すると、楕円、円、放物線、二直線、双曲線となりますが、
その曲線のどのような位置に焦点がくるのかを調べてみました。
円錐と平面
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まず、切断したい円錐を定義します。
それは、
<tex>
z^2=A^2(x^2+y^2) \tag{##}
</tex>
です。これは、直線 $z=Ax$ を $z$ 軸周りに回転した図形です。
次に、切断したい平面を記述します。
それは、 $k,c$ をパラメータ、 $s,t$ を変数として、
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
k
\end{pmatrix}
+t
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
c
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
x=\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
</tex>
<tex>
y=t \tag{##}
</tex>
<tex>
z=\frac{ks}{\sqrt{1+k^2}}+c
</tex>
となります。
ここで、 $s,t$ の関係がその曲線の方程式を表していると言うことを注意しておきます。
方程式の導出
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式 $(3)$ を式 $(1)$ に代入します。
そこで、 $s,t$ に加わる関係が断面の曲線の方程式になります。
簡単の為、 $A>k>0$ の曲線が楕円である時を考えます。
<tex>
z^2 = A^2(x^2+y^2) \tag{1}
</tex>
でしたから、
<tex>
(\frac{ks}{\sqrt{1+k^2}}+c)^2 = A^2(\frac{s^2}{1+k^2}+t^2) \tag{##}
</tex>
<tex>
\frac{k^2s^2}{1+k^2} + 2\frac{kcs}{\sqrt{1+k^2}} + c^2 = \frac{A^2 s^2}{1+k^2} + A^2 t^2 \tag{##}
</tex>
<tex>
2\frac{kcs}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{(A^2-k^2)s^2}{1+k^2} + A^2 t^2 - c^2 \tag{##}
</tex>
両辺を二乗して、
<tex>
4\frac{k^2 c^2 s^2}{1+k^2} = \frac{(A^2-k^2)^2s^4}{(1+k^2)^2}+ A^4 t^4 + c^4 + \frac{2(A^2-k^2)s^2}{1+k^2}A^2t^2
-\frac{2(A^2-k^2)s^2}{1+k^2}c^2 -2 A^2 c^2 t^2 \tag{##}
</tex>
ここで、 $s,t$ どちらの関数について、まとめるかを考えます。
この解は、 $x,s$ 軸対称な楕円です。だから、 $y,t$ を $x,s$ の関数と見るべきです。
つまり、 $y,t$ について解けば良さそうです。
ここで、
<tex>
e_-=\frac{A^2-k^2}{1+k^2},\ \ \ \ e_+=\frac{A^2+k^2}{1+k^2} \tag{##}
</tex>
と置きます。すると、
<tex>
A^4 t^4 -2(A^2 c^2 - e_- A^2 s^2)t^2 + e_-^2 s^4 -2 e_+ c^2 s^2 +c^4 = 0 \tag{##}
</tex>
この式を良く見ると、 $t$ の四次式ですが、 $t^3,t$ の項がないので、 $t^2$ の二次方程式の解の公式で解けることが分かります。
<tex>
t^2 = \dfrac{A^2c^2-e_- A^2 s^2 \pm \sqrt{D}}{A^4}
</tex>
で、判別式 $D$ は、
<tex>
D &= (A^2c^2-e_-A^2s^2)^2 - A^4 (e_-^2 s^4 - 2e_+c^2 s^2 + c^4) \\
&= 2 A^4 (e_+ - e_-)c^2 s^2 \tag{##}
&= 2 A^4 (e_+ - e_-)c^2 s^2 \geq 0\tag{##}
</tex>
となります。よって、少し整理すると、
<tex>
A^2 t^2 = c^2 - e_- s^2 \pm cs \sqrt{2(e_+ - e_-)}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-02-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:conic@@
記事ソース/円錐曲線 のバックアップ差分(No.6)
