記事ソース/円錐曲線 のバックアップ(No.2)
記事ソース/円錐曲線 のバックアップ(No.2)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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円錐曲線
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円錐を平面で切断すると、楕円、円、放物線、二直線、双曲線となりますが、
その曲線のどのような位置に焦点がくるのかを調べてみました。
円錐と平面
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まず、切断したい円錐を定義します。
それは、
<tex>
z^2=A^2(x^2+y^2) \tag{##}
</tex>
です。これは、直線 $z=Ax$ を $z$ 軸周りに回転した図形です。
次に、切断したい平面を記述します。
それは、 $k,c$ をパラメータ、 $s,t$ を変数として、
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
k
\end{pmatrix}
+t
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
c
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
x=\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
</tex>
<tex>
y=t \tag{##}
</tex>
<tex>
z=\frac{ks}{\sqrt{1+k^2}}+c
</tex>
となります。
ここで、 $s,t$ の関係がその曲線の方程式を表していると言うことを注意しておきます。
方程式の導出
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式 $(3)$ を式 $(1)$ に代入します。
そこで、 $s,t$ に加わる関係が断面の曲線の方程式になります。
簡単の為、 $A>k>0$ の曲線が楕円である時を考えます。
<tex>
z^2 = A^2(x^2+y^2) \tag{1}
</tex>
でしたから、
<tex>
(\frac{ks}{\sqrt{1+k^2}}+c)^2 = A^2(\frac{s^2}{1+k^2}+t^2) \tag{##}
</tex>
<tex>
\frac{k^2s^2}{1+k^2} + 2\frac{kcs}{\sqrt{1+k^2}} + c^2 = \frac{A^2 s^2}{1+k^2} + A^2 t^2 \tag{##}
</tex>
<tex>
2\frac{kcs}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{(A^2-k^2)s^2}{1+k^2} + A^2 t^2 - c^2 \tag{##}
</tex>
両辺を二乗して、
<tex>
4\frac{k^2 c^2 s^2}{1+k^2} = \frac{(A^2-k^2)^2s^4}{(1+k^2)^2}+ A^4 t^4 + c^4 + \frac{2(A^2-k^2)s^2}{1+k^2}A^2t^2
-\frac{2(A^2-k^2)s^2}{1+k^2}c^2 -2 A^2 c^2 t^2
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-02-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:conic@@
