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円錐曲線
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円錐を平面で切断すると、楕円、円、放物線、二直線、双曲線となりますが、
その曲線のどのような位置に焦点がくるのかを調べてみました。
円錐と平面
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まず、切断したい円錐を定義します。
それは、
<tex>
z^2=A^2(x^2+y^2) \tag{##}
</tex>
です。これは、直線 $z=Ax$ を $z$ 軸周りに回転した図形です。
次に、切断したい平面を記述します。
それは、 $k,c$ をパラメータ、 $s,t$ を変数として、
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
k
\end{pmatrix}
+t
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
c
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
x=\frac{s}{\sqrt{1+k^2}}
</tex>
<tex>
y=t \tag{##}
</tex>
<tex>
z=\frac{ks}{\sqrt{1+k^2}}+c
</tex>
となります。
ここで、 $s,t$ の関係がその曲線の方程式を表していると言うことを注意しておきます。
方程式の導出
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@@author:クロメル@@
@@accept:2011-02-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:conic@@
記事ソース/円錐曲線 のバックアップ差分(No.1)
