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============================================================ 一つ目の回転後の座標軸周りの二つ目の回転の表現方法 ============================================================ この記事では、座標系の回転に関する重要な定理を証明します。 今回の話から分かる事 ========================== ここに $xyz$ デカルト直交座標系(カーテシアン座標系とも言います) と回転軸 $\bm{n}_2$ が有ったとします。それを別のある軸 $\bm{n}_1$ の周りに回転対象の点と座標系を共に $\alpha$ ラジアンだけ回転(この回転を $R(\bm{n}_1,\alpha)$ と書く事にします。)して、 $x^\prime y^\prime z^\prime$ 座標系に移り 、 $\bm{n}_2$ が $\bm{n}_2^\prime$ に移ったとします。 続いて $\beta$ ラジアンの回転をする時、 $\bm{n}_2$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2,\beta)$ と、 $\bm{n}_2^\prime$ 周りの回転 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ では結果は当然違いますが、 そこに単純な関係があると言うものです。J.J.Sakuraiの『現代の量子力学(上)』(吉岡書店)に この特別な場合が載っていますが、今回私はこの結果を拡張しました。 ベクトル $\bm{r}$ に回転 $R(\bm{n}_1,\alpha)$ を作用させた結果を、 $R(\bm{n}_1 ,\alpha)\bm{r}$ と書くと、 その定理とは、 <tex> R(\bm{n}_2^\prime,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\beta)R(\bm{n}_1,-\alpha) \tag{##} </tex> 若しくは、 <tex> R( \{R(\bm{n}_1,\alpha)\bm{n}_2\} ,\beta) = R(\bm{n}_1,\alpha)R(\bm{n}_2,\beta)R(\bm{n}_1,-\alpha) \tag{##} </tex> と言うものです。これが分かると、例えば以下の様なオイラー角の回転を直ぐに書き下せるようになります。 つまり、 $R(\bm{e}_z , \alpha)$ を行って $x^\prime y^\prime z^\prime$ 座標に移り、 次に $R(\bm{e}_{y^\prime} , \beta)$ を行って $x^{\prime\prime} y^{\prime\prime} z^{\prime\prime}$ 座標に移ります。 最後に $R(\bm{e}_{y^{\prime\prime}} , \gamma)$ だけ回転します。これを $R_{total}$ とします。 その時、回転は一番右から順に作用させるとすると、 <tex> R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma)R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta)R(\bm{e}_{z},\alpha) \tag{##} </tex> となりますが、回転後の軸周りの回転は煩わしいです。 そんな時、この定理が使えて、 <tex> R(\bm{e}_{z},\alpha) &= A_z \\ R(\bm{e}_{y^{\prime}},\beta) &= B_{y^\prime} = A_z B_y A_z^{-1}\\ R(\bm{e}_{z^{\prime\prime}},\gamma) &= \Gamma_{z^{\prime\prime}} \\ &= (B_{y^\prime} A_z) \Gamma_z (B_{y^\prime} A_z)^{-1} \\ &= (A_z B_y A_z^{-1} A_z) \Gamma_z (A_z B_y A_z^{-1} A_z)^{-1} \\ &= A_z B_y \Gamma_z (A_z B_y)^{-1} \\ &= A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1} \tag{##} </tex> であります。 ここで $R$ の逆回転を $R^{-1}$ としました。 連続回転 $R_2 R_1$ の逆は $(R_2 R_1)^{-1} = R_1^{-1} R_2^{-1}$ つまり、一つ目の回転をした後、 二つ目の回転を行った時、元に戻すには、二つ目の回転を逆に行い、一つ目の逆をすれば良いという事です。 よって、 $R_{total}$ は <tex> R_{total} &= \Gamma_{z^{\prime\prime}}B_{y^\prime}A_z \\ &= A_z B_y \Gamma_z B_y^{-1} A_z^{-1} A_z B_y A_z^{-1} A_z \\ &= A_z B_y \Gamma_z \tag{##} </tex> という結果が得られます。ここで、 $A_z,B_y,\Gamma_z$ ならば簡単に書き下す事が出来て、 <tex> A_z &= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ B_y &= \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix} \\ \Gamma_z &= \begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。今回の話のご利益はこんな感じです。では、式 $(1)$ の証明に入りましょう。 予備知識 ============================== 以降の話を読むにあたって、予備知識として拙記事 続ベクトルの回転_ と 続々ベクトルの回転_ を読んでください。 では、話を進めます。 式(1)の証明 ================================ 最初に回転軸 $\bm{n}_2$ と $\bm{n}_2^\prime$ とは次の関係があります [*]_ 。 .. [*] : 回転の略記のRですが、ここまでの純粋に回転を表す記号から、以降では回転の行列を表しているとお考えください。この行列は直交行列であり、転置を $T$ で表すと、 $R^T = R^{-1}$ であり、 $R^TR=RR^T=I$ ( $I$ は単位行列)が成立します。つまり、 $R^T(\bm{n},\theta) = R(\bm{n},-\theta)$ となります。 <tex> \bm{n}_2^\prime = R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2 \tag{##} </tex> 肝心の任意の回転軸周りの回転行列は、例えば <tex> R(\bm{n}_2,\beta) = \bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \bm{n}_2 \bm{n}_2) + \sin \beta N_2 \tag{##} </tex> 等となります。ここで $\bm{n}_2 \bm{n}_2$ はダイアドであり、 $\bm{n}_2 = \begin{pmatrix} \ell_2 \\ m_2 \\ n_2 \end{pmatrix}$ として、 $N_2 = \begin{pmatrix} 0 & -n_2 & m_2 \\ n_2 & 0 & -\ell_2 \\ -m_2 & \ell_2 & 0 \end{pmatrix}$ であり、任意の $\bm{r}$ に掛かると、 $N_2 \bm{r} = \bm{n}_2 \times \bm{r}$ の様に外積に変化します。 式 $(7)$ を使えば、 $R(\bm{n}_2^\prime,\beta)$ は変形できて、 <tex> R(\bm{n}_2^\prime,\beta) &= \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime + \cos \beta (I - \bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime) + \sin \beta N_2^\prime \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\ \tag{##} </tex> となります。ここで、 <tex> N_2^\prime = R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \tag{##} </tex> が示せれば、無事に <tex> R(\bm{n}_2^\prime,\beta) &= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta N_2^\prime \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha )\bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )+ \cos \beta (I - R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )) + \sin \beta R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) \bm{n}_2 \bm{n}_2 + \cos \beta (I - \bm{n}_2 \bm{n}_2) + \sin \beta N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\&= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) R(\bm{n}_2, \beta) R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \tag{##} </tex> となります。よって、式 $(10)$ を示せば証明完了です。今回の話が成立すると確信を持った計算があります。 それは、次の必要条件を導いた計算です。式 $(10)$ を辺々二乗したのです。 すると、 $\bm{n}_2 \bm{n}_2 = I + N_2^2$ より、 <tex> R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha )R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) N_2^2 R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\ &= R(\bm{n}_1 ,\alpha ) (\bm{n}_2 \bm{n}_2 - I) R(\bm{n}_1 ,-\alpha ) \\ &= (\bm{n}_2^\prime \bm{n}_2^\prime - I) \\ &= N_2^{\prime 2} \tag{##} </tex> となり、矛盾しないからです。もちろん、 $x^2 = 1$ から $x=1$ のみを導けないので、然るべき計算をこれから行います。 式(10)の証明 ============================ さて、 $N_2^\prime$ は $\bm{n}_2^\prime$ の成分を並べ替える事で手に入ります。 よって、まずは $\bm{n}_2^\prime$ を求めましょう。式 $(8)$ の添え字を $2$ から $1$ に変えたものを使って、 <tex> R(\bm{n}_1,\alpha) \bm{n}_2^\prime &= (\bm{n}_1 \bm{n}_1 + \cos \alpha (I - \bm{n}_1 \bm{n}_1) + N_1)\bm{n}_2 \\ &= (\cos \alpha I + (1 - \cos \alpha) \bm{n}_1 \bm{n}_1) + N_1)\bm{n}_2 \\ &= \cos \alpha \bm{n}_2 + (1 - \cos \alpha) (\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2) \bm{n}_1 + \sin \alpha \bm{n}_1 \times \bm{n}_2 \tag{##} </tex> よって、この要素を並べ替えて出来る $N_2^\prime$ は <tex> K = \begin{pmatrix} 0 & \ell_2 m_1 - \ell_1 m_2 & \ell_2 n_1 - \ell_1 n_2 \\ - \ell_2 m_1 + \ell_1 m_2 & 0 & m_2 n_1 - m_1 n_2 \\ -\ell_2 n_1 + \ell_1 n_2 & -m_2 n_1 + m_1 n_2 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> と言う行列 $K$ を使って、 <tex> N_2^\prime = \cos \alpha N_2 + (1- \cos \alpha)(\bm{n}_1 \cdot \bm{n}_2)N_1 + \sin \alpha K \tag{##} </tex> となります。ちなみに、 <tex> N_1 N_2 -N_2 N_1 = K \tag{##} </tex> となっています。よって、我々は <tex> R() \tag{##} </tex> それでは、今日はこの辺で。 .. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot2/ .. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot3/ @@author:クロメル@@ @@accept:2017-09-07@@ @@category:ベクトル解析@@ @@id:rotOfNewAxisAndOldAxis@@