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ボルツマン定数
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この記事では、「一分子あたりの気体定数」（ボルツマン定数）
<tex>
k_B = \frac{R}{N_A} \tag{##}
</tex>
（ただし、 $R$ が気体定数で、 $N_A$ がアボガドロ数）
と「ボルツマンの関係式」つまり、
<tex>
S=c \log \Omega_0 \tag{##}
</tex>
（ $S$ はエントロピー、 $c$ はある定数、 $\Omega_0$ は
系の状態数）において、
<tex>
k_B = c \tag{##}
</tex>
となることを確認します。
理想気体の状態数
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まず、 $N$ 個の分子からなる体積 $V$ の箱につまっている
理想気体を考えます。
この系の状態数 $\Omega_0$ を古典的に求めます。
この系のエネルギーは、
<tex>
H=\sum_{i=1}^{3N}\frac{p_i^2}{2m}
</tex>
ここで、系の分子のデカルト座標に共役な、
運動量を $p_i\ \ (i=1,2,3,\cdots,3N)$
としました。エネルギーが $E$ 以下の状態数は、
次の式で求められます。
<tex>
\Omega_0(E,N,V)=\frac{1}{h^{3N}N!}\int_{H \leqq E} d \Gamma \\
\frac{1}{h^{3N}N!}\int_{H \leqq E} \prod_{i=1}^{3N} dx_i \prod_{i=1}^{3N} dp_i
</tex>
ここで、 $h$ はプランク定数、 $H$ は系の
エネルギー、 $d \Gamma$ は位相空間における
微小体積要素です。
位置座標についての積分は、 $V^N$ となりますから、
<tex>
\Omega_0(E,V,N)=\frac{V^N}{h^{3N}N!}\int_{\sum p_i^2 \leqq 2mE} \prod_{i=1}^{3N}dp_i
</tex>
この式の積分部分は、半径 $\sqrt{2mE}$ の $3N$ 次元の球
の超体積なので [*]_ 、
.. [*] $n$ 次元の単位球（半径が１の球）の体積
は、 $\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ です。
<tex>
\Omega_0(E,N,V) = \frac{V^N}{h^{3N}N!} \frac{(2\pi m E)^{3N/2}}{\Gamma(\frac{3N}{2}+1)} \tag{##}
</tex>
となります。
数学的準備
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ここで、ガンマ関数は、
<tex>
\Gamma (z)=\int_0^\inf t^{z-1} e^{-t} dt
</tex>
<tex>
\Gamma(z)=\int_0^\inf t^{z-1}e^{-t} dt
\Gamma(z)=\int_{0}^{\inf} t^{z-1}e^{-t} dt
</tex>
であり、具体的な値としては、 $n$ が自然数の時、
<tex>
\Gamma(n+1)=n! \tag{##}
</tex>
<tex>
\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi} \tag{##}
</tex>
が挙げられます。
また、スターリングの公式
<tex>
N!=N \log N -N \tag{##}
</tex>
も使います。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-01-27@@
@@category:統計力学@@
@@id:BoltzmannConst@@
記事ソース/ボルツマン定数 のバックアップ差分(No.8)
