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グリーン関数を理解しよう(フォトンのグリーン関数)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ダイソン方程式と自己エネルギー_ です。
この記事が最後です。( 目次_ )
ゲージによるクーロン相互作用とフォトン相互作用の分離
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この記事ではフォトンのグリーン関数を求めます。
フォトンには変更の方向があり、少々厄介なので後回しにしたのです。
スピン無しの電磁相互作用のハミルトニアンの非相対論的極限は、
<tex>
H = \sum_i \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e_i}{c} \bm{A}(\bm{r}_i) \right]^2 + \dfrac{1}{2} \sum_{i \neq j} \dfrac{e_ie_j}{r_{ij}} + \sum_{\bm{k} \lambda} \omega_{\bm{k} \lambda} a^\dagger_{\bm{k} \lambda} a_{\bm{k} \lambda}
\tag{##}
</tex>
となります。以下では $\mu$ や $\nu$ は $1,2,3$ もしくは $x,y,z$ を表すものとします。 $\lambda$ は偏光の自由度です。
ベクトルポテンシャル $A$ は、
<tex>
\dfrac{1}{c} A_\mu &= \dfrac{1}{\sqrt{v}} \sum_{\bm{k} \lambda} e^{i \bm{k} \cdot \bm{r}} A_\mu(\bm{k},\lambda,t) \\
A_\mu(\bm{k},\lambda,t) &= \left( \dfrac{2 \pi}{\omega_{\bm{k}}} \right) \xi_\mu(\bm{k},\lambda)
(a_{\bm{k} \lambda} e^{-i\omega_k t}+a^\dagger_{-\bm{k} \lambda} e^{i\omega_k t})
\tag{##}
</tex>
となります。生成消滅演算子 $a^\dagger_{\bm{k} \lambda},a_{\bm{k} \lambda}$ はボゾンの演算子です。 $\bm{k}$ はフォトンの進行方向を向く波数ベクトル、 $\lambda$ は偏光の自由度を表すラベルで、 $\xi_\mu(\bm{k},\lambda)$ はそれらから指定される実際の変更方向を表すベクトルです。クーロン相互作用とフォトン相互作用は本来同じ相互作用であり、ゲージを設定したことで分離されます。ここでは、クーロンゲージ $\bm{\nabla} \cdot \bm{A} = \bm{0}$ を用いることで、スカラーポテンシャル $\psi$ がクーロン相互作用、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ がフォトン相互作用にそれぞれ対応するようになります。真空中のスカラーポテンシャル
<tex>
\psi_0(r) = \dfrac{e^2}{r}
\tag{##}
</tex>
はグリーン関数
<tex>
v_q = \dfrac{4 \pi e^2}{q^2}
\tag{##}
</tex>
を持ちます。この相互作用は今回の話では瞬間的に伝わる(遠隔作用)という近似をします。
このグリーン関数は既に ウィックの定理_ で出てきています。
実際これは縦方向ポテンシャルのグリーン関数なのです。
この瞬間に伝わる性質から、周波数依存性はありません。
ファノン相互作用で相互作用する二つの電子はフォノングリーン関数 $D^{(0)}(\bm{q},\omega)$ と頂点 $|M_{\bm{q}}|^2$ に対して、
<tex>
|M_{\bm{q}}|^2 D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>
で表されました。これに対応して、電子電子相互作用では、 $\dfrac{4 \pi}{r^2}$ がグリーン関数であり、頂点は $e^2$ を表すと見なすことが出来ます。このどちらもグリーン関数として扱われるのです。それならば、ダイソン方程式がクーロン相互作用にも適用できるはずです。
<tex>
v_q(\omega) = \dfrac{v_q}{1 - v_q P(\bm{q},\omega)}
\tag{##}
</tex>
因子 $P(\bm{q},\omega)$ は自己エネルギー、もしく偏極演算子です。ここから簡単に引き出せる議論があります。
等方的な誘電率 $\varepsilon$ を持った一様媒質中のマクスウェル方程式を考えます。
<tex>
\bm{\nabla} \cdot \bm{B} &= \bm{0} \\
\bm{\nabla} \times \bm{E} &= \bm{0} \\
\varepsilon \bm{\nabla} \cdot \bm{E} &= 4 \pi \rho \\
\bm{\nabla} \times \bm{B} &= \dfrac{\varepsilon}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} \bm{E} + \dfrac{4 \pi}{c} \bm{j}
\tag{##}
</tex>
これらを解くと、ポテンシャルを使って次の様に表せます。
<tex>
\psi(\bm{r}) &= \dfrac{1}{\varepsilon} \int \dfrac{d^3 r^\prime \rho(\bm{r}^\prime)}{|\bm{r}-\bm{r}^\prime|} \\
\bm{\nabla}^2 \bm{A} - \dfrac{\varepsilon}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \bm{A} &= - \dfrac{4 \pi}{c} \bm{j}
\tag{##}
</tex>
最初の式を電荷密度を点電荷 $\rho(\bm{r}^\prime) = \delta(\bm{r}^\prime)$ として $\bm{r}$ でフーリエ変換すると、
<tex>
\bar{v}_q = \dfrac{v_q}{\varepsilon}
\tag{##}
</tex>
となります。これを
<tex>
\tag{##}
</tex>
<tex>
\tag{##}
</tex>
<tex>
\tag{##}
</tex>
<tex>
\tag{##}
</tex>
<tex>
\tag{##}
</tex>
<tex>
\tag{##}
</tex>
今回注目するフォトン相互作用は、
<tex>
\dfrac{e^2}{2mc^2}A_\mu^2
\tag{##}
</tex>
の部分です。
これで一連のグリーン関数の記事は終わりです。お疲れ様でした。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/
.. _ダイソン方程式と自己エネルギー: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen06/
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-16@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen07@@
記事ソース/フォトンのグリーン関数 のバックアップ差分(No.1)
