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フェルミオンの後退グリーン関数の満たす式
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少しあいまいな点もあり、自信がありませんが、「物性論で遅延グリーン関数を扱うけど
なんでグリーン関数と言えるのか？」という疑問に答えたいと思います。
フェルミオンの遅延グリーン関数 $G_{ret}$ とは、greaterグリーン関数 $ G^{>} $ 、
lesserグリーン関数 $ G^{<} $ そしてシータ関数（階段関数とも） $ \Theta $ を用いて、
<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = \Theta(t_1-t_2)(G^{>}-G^{<}) \tag{##}
</tex>
と表されます。ここで、greater,lesser関数は、それぞれ、場の演算子 $ \psi(x) $ を用いて、
<tex>
G^{>}(x_1,x_2) = -i\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) \rangle \tag{##}
</tex>
<tex>
G^{<}(x_1,x_2) = i\langle \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle \tag{##}
</tex>
となります。よって、
<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2)\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) + \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle \tag{##}
</tex>
となります。場の演算子の時間発展は、 $\psi(t,x) = e^{-i \omega t} \psi(0,x) $ のように変化するので、結局式 $(4)$ は、
<tex>
G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \langle \psi(0,x_1) \psi^\dagger(0,x_2) + \psi^\dagger(0,x_2) \psi(0,x_1) \rangle \tag{##}
</tex>
これで、時間依存性があらわになりました。
では、時間微分を計算してみましょう。ここがよく分からないのですが、 $x_1 = x_2$ と置かねばならないようです。交換関係は $\psi \psi^\dagger +\psi^\dagger \psi = i \hbar$ ですから、
<tex>
\partial_t G_{ret}(x_1,x_2) &= -i \delta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \langle \psi(0,x_1) \psi^\dagger(0,x_2) + \psi^\dagger(0,x_2) \psi(0,x_1) \rangle - \omega \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \langle \psi(0,x_1) \psi^\dagger(0,x_2) + \psi^\dagger(0,x_2) \psi(0,x_1) \rangle \\
&= -i \delta(t_1-t_2) i \hbar - \omega \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} i \hbar \\
&= \hbar \delta(t_1 - t_2) - i \omega G_{ret} \tag{##}
</tex>
なお、δ関数を含む項に対しては、 $t_1 = t_2$ と置きました。
これは、少し変形してやれば、シュレーディンガー方程式に対するグリーン関数になっているようです。つまり、
<tex>
(i \hbar \partial_t - \hbar \omega) G_{ret}(x_1,x_2) &= i \hbar^2 \delta(t_1 - t_2) \tag{##}
</tex>
なんというか、右辺の $ i \hbar^2 $ が気持ち悪いですが、
これなら、確かにグリーン関数とは呼べなくもないですね。
それでは、今日はこの辺で。お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-11-04@@
@@category:量子力学@@
@@id:retGOfFermion@@
記事ソース/フェルミオンの後退グリーン関数の満たす式 のバックアップの現在との差分(No.1)
