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[[記事ソース/トンネル確率の計算]]
トンネル確率の計算
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はじめまして、現在大学４年のムー民と申します。質問させていただきたいのですが、量子力学、トンネル確率の計算は、どうやって計算すればいいのでしょうか。障壁を越えた後との振幅の比までは何とか出せるのですが…その後、その比の絶対値の２乗を求めることが計算が複雑すぎてできません。Re項とIm項にわけ、それぞれ２乗して出す方法を使用しているのですが、もっと簡単に求める方法はないのでしょうか？何か方法ありましたらぜひ教えていただきたく思います。
mNeji様返信ありがとうございます。本当にごく一般的な障壁のトンネル確率です。一次元で0< x<aの範囲で、ポテンシャルがV、それ以外では０で、E<Vの場合を考えています。（本当に一般的な教科書に載っているようなものです。）障壁を越えた後の振幅をF、越える前の前進波の振幅をAとして、
F/A={4κk*exp(κ-ik)a}/{(κ+ik)^2+(κ-ik)^2*exp(2κa)}
ただしk^2=2mE/h^2,κ=2m(V-E)/h^2
というような感じです。
ここから｜F/A|^2を求めたいのですが、まず分母を有理化のように実数に変えて、そのあとReとImを分けて２乗するという方法でやろうとしたのですがあまりにも計算が面倒で、（大学院の試験中にやるような計算ではないような…）困っていました。ほかにもさまざまな場面でこのような計算をする機会があるかとは思いまして、簡単な計算方法があるのではと思ったのですが…
困ったことに何冊かの教科書を探してみても途中の計算過程を書いてくれているものはなかったので…
つまらない質問でお手数をおかけしまして大変申し訳ありません。
さてご質問を図にすると
< pre>
《図1 ポテンシャルと波数》
V ＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿__ V
↑ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
E ＿＿＿＿｜ ｜ ｜
↑ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
＿＿＿＿｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿｜ ｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿
x＝0 x=a
<tex>\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)=\kappa^2</tex>
<tex>\frac{2m}{\hbar^2}E=k^2</tex>
<tex>\therefore \frac{2m}{\hbar^2}V=\kappa^{2}+k^2</tex>
《図2ポテンシャルと波動関数》
＋――――――――＋ V
｜ ｜
<tex>\ \mathrm{e}^{+\mathrm{i}kx}</tex> → ｜ <tex>\searrow \ G_{n}\mathrm{e}^{-\kappa x}</tex> ｜ <tex>\ P\mathrm{e}^{+\mathrm{i}kx}</tex> →
<tex>\;\ \;R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\ </tex> ← ｜ <tex>\ \; G_{p}\mathrm{e}^{+\kappa x}\ \swarrow</tex> ｜
｜ ｜
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿｜ ｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿
x＝0 x=a
1) 左の領域 2) 中央の領域 3) 右の領域
右向き進行波<tex>\ \mathrm{e}^{+\mathrm{i}kx}</tex> 右向き減衰波<tex>\ G_{n}\mathrm{e}^{-\kappa x}</tex> 右向き進行波<tex>\ P\mathrm{e}^{+\mathrm{i}kx}</tex>
左向き反射波<tex>\ R\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}</tex> 左向き減衰波<tex>\ G_{p}\mathrm{e}^{+\kappa x}</tex>
</ pre>
●波動関数とその導関数についての連続性
・ｘ＝０で
<tex>
1+R =G_{n} + G_{p} \tag{1}</tex>
<tex>
+\mathrm{i}k-\mathrm{i}kR=-G_{n}\cdot \kappa + G_{p}\cdot \kappa \tag{2}</tex>
・ｘ＝a で
<tex>
G_{n}\mathrm{e}^{-\kappa a} + G_{p}\mathrm{e}^{+\kappa a}=P\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k a} \tag{3}</tex>
<tex>
G_{n}(-\kappa)\mathrm{e}^{-\kappa a} + G_{p}(+\kappa)\mathrm{e}^{+\kappa a}=P(+\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{+\mathrm{i}k a} \tag{4}</tex>
●係数を求める
波動関数の係数<tex>R,\ G_{n},\ G_{p},P</tex>は4個で，波動関数の接続条件も4本の一次式だから解く事ができる．
大雑把にいえば，(1),(2)からRを消去し，(3),(4)からPを消去し，それらから<tex>G_{n},\ G_{p}</tex>を求め，それらからR,Pを求める．
(1)*(ik)+(2)
<tex>
2\mathrm{i}k=-(\kappa -\mathrm{i}k)G_{n}+(\kappa +\mathrm{i}k)G_{p} \tag{5}
</tex>
(3)*(ik)-(4)
<tex>
G_{n}(\mathrm{i}k +\kappa)\mathrm{e}^{-\kappa a} +G_{p}(\mathrm{i}k -\kappa)\mathrm{e}^{\kappa a}=0 \tag{6}
</tex>
上式から，直ちに
<tex>
G_{p}=G_{n}\frac{\kappa +\mathrm{i}k}{\kappa -\mathrm{i}k}\mathrm{e}^{-2\kappa a} \tag{7}
</tex>
(5)に代入し，
<tex>
G_{n}=\frac{-2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)}{(\kappa -\mathrm{i}k)^2-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-2\kappa a}} \tag{8}
</tex>
(7)に代入して
<tex>
G_{p}=\frac{-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-2\kappa a}}{(\kappa -\mathrm{i}k)^2-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-2\kappa a}} \tag{9}
</tex>
(8),(9)の右辺を見ると,分母・分子に<tex>\mathrm{e}^{\kappa a}</tex>を掛けると，指数関数が対称的になることがわかる．また，分母を実部・虚部とに整理する．
(9)から始める，
<tex>
G_{p}&=\frac{-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\cdot\mathrm{e}^{-\kappa a}}{(\kappa -\mathrm{i}k)^{2}\mathrm{e}^{\kappa a}-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-\kappa a}}\\
&=\left(-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a}\right) /\left( (\kappa -\mathrm{i}k)^{2}\mathrm{e}^{\kappa a}-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-\kappa a} \right)\\
&=\left(-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a}\right) /\left( (\kappa^2 -k^2 -2\mathrm{i}\kappa k)\mathrm{e}^{\kappa a}-(\kappa^2 -k^2 +2\mathrm{i}\kappa k) \mathrm{e}^{-\kappa a} \right) \\
&=\left(-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a}\right) /\left( (\kappa^2 -k^2 )\cdot(\mathrm{e}^{\kappa a}-\mathrm{e}^{-\kappa a})-2\mathrm{i}\kappa k \cdot(\mathrm{e}^{\kappa a}+\mathrm{e}^{-\kappa a}) \right) \\
&=\left(-2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a}\right)
/ \left( (\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a) \right)
\tag{10}
</tex>
同様な処理を(8)について実施すると
<tex>
G_{n}&=\frac{-2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)\cdot \mathrm{e}^{+\kappa a}}{(\kappa -\mathrm{i}k)^{2}\mathrm{e}^{\kappa a}-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-\kappa a}} \\
&=\left(-2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{+\kappa a}\right) /\left( (\kappa -\mathrm{i}k)^{2}\mathrm{e}^{\kappa a}-(\kappa +\mathrm{i}k)^2\mathrm{e}^{-\kappa a} \right)\\
&=\left( -2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)\cdot \mathrm{e}^{+\kappa a} \right)/\left( (\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a) \right)
\tag{11}
</tex>
(10),(11)を(3)に代入すると，
<tex>
P &=G_{n}\mathrm{e}^{-\kappa a}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a} + G_{p}\mathrm{e}^{+\kappa a} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a} \\
&=\left(
\left( -2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)\cdot \mathrm{e}^{+\kappa a} \cdot \mathrm{e}^{-\kappa a}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a} \right) + \left( -2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a}\cdot \mathrm{e}^{+\kappa a} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a} \right)
\right) \\
& \qquad / \left(
(\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
\right) \\
&=\left( -4\mathrm{i}\kappa k \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a} \right)
/ \left(
(\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
\right)
\tag{12}
</tex>
(10),(11)を(1)に代入すると，
<tex>
R+1 &=G_{n} + G_{p} \\
&=\left(
\left( -2\mathrm{i}k(\kappa -\mathrm{i}k)\cdot \mathrm{e}^{+\kappa a} \right) + \left( -2\mathrm{i}k(\kappa +\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{-\kappa a} \right)
\right) \\
& \qquad / \left(
(\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
\right) \\
&=\left( -4\mathrm{i}\kappa k \cosh(\kappa a) -4k^2 \sinh(\kappa a) \right) \\
& \qquad / \left(
(\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
\right)
</tex>
上式を整理して，
<tex>
R &=\left(-2(\kappa^2 + k^2)\sinh(\kappa a) \right) \\
& \qquad / \left(
(\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
\right)
\tag{13}
</tex>
● 検討と検算
今回のモデルは，十分遠方の左側から進行波が振幅1で入射し，原点で振幅Rで反射(reflection)し，ポテンシャル障壁を負のエネルギーにより減衰しながら通りぬけ，再度，透過(penetration)して再度振幅Pの進行波として前方に散乱する．
したがって，反射係数|R|^2や透過係数|P|^2を求めると，その和は1にならないといけない．
これらを計算するのに，(12),(13)の分母<tex>D</tex>の|D|^2を求めておく．
<tex>
D \equiv (\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) -2\mathrm{i}\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a)
</tex>
<tex>
|D|^2 &= \left( (\kappa^2 -k^2 )\cdot 2\sinh(\kappa a) \right)^2 + \left( -2\kappa k \cdot2\cosh(\kappa a) \right)^2 \\
&= \left( 4(\kappa^4 -2\kappa^2 k^2 +k^4 )\sinh(\kappa a)^2 \right) + \left( 4\kappa^2 k^2\cosh(\kappa a)^2 \right)
</tex>
ここで<tex>\cosh(\kappa a)^2 -\sinh(\kappa a)^2 =1</tex>に注意すると
<tex>
|D|^2 = 4(\kappa^2 +k^2)^2 \sinh(\kappa a)^2 +16\kappa^2 k^2 \tag{14}
</tex>
(12)と(14)より,透過確率は
<tex>
|P|^2 &=|-4\mathrm{i}\kappa k \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k a}|^2 / |D|^2 \\
&= \frac{16\kappa^2 k^2}{4(\kappa^2 +k^2)^2 \sinh(\kappa a)^2 +16\kappa^2 k^2} \tag{15}
</tex>
(13)と(14)より,反射確率は
<tex>
|R|^2 &=|-2(\kappa^2 + k^2)\sinh(\kappa a) |^2 / |D|^2 \\
&= \frac{4(\kappa^2 + k^2)^2 \sinh(\kappa a)^2}{4(\kappa^2 +k^2)^2 \sinh(\kappa a)^2 +16\kappa^2 k^2} \tag{16}
</tex>
(15),(16)は「透過確率＋反射確率=1」を満たすことが確認された．
なお，図1で示した関係；
<tex>
\frac{2m}{\hbar^2}(V-E) &=\kappa^2 \\
\frac{2m}{\hbar^2}E &=k^2 \\
\frac{2m}{\hbar^2}V &=\kappa^{2}+k^2
</tex>
で各確率を書き下すと；
<tex>
|P|^2 &= \frac{4(V-E)E}{\left(V \sinh(\kappa a)\right)^2 +4(V-E)E} \tag{17}\\
|D|^2 &= \frac{\left(V \sinh(\kappa a)\right)^2}{\left(V \sinh(\kappa a)\right)^2 +4(V-E)E}\tag{18}
</tex>
(18)式が判り易いですが，ポテンシャル・障壁が高くなると反射係数が大きくなり，極限で1となり透過出来ない事になります．
他方，ポテンシャル・障壁Vが低くなって，入射エネルギEに近づいても，一気にゼロにならないところが面白いですね．
いま，この説明を書いていて気になってきたのですが，この逆に，井戸型のポテンシャルだったらどういう挙動をするのでしょうかね．落ち着いたら解いてみてください．
記事ソース/トンネル確率の計算 のバックアップ差分(No.1)
