記事ソース/ゲージ変換 のバックアップ(No.1)
記事ソース/ゲージ変換 のバックアップ(No.1)
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========================== ゲージ変換 ==========================
解析力学の要になるのは，変分原理であり，作用 $I$ やラグランジアン $L$ は最も基本的といっても良い物理量です． ラグラジアンによって現象が記述できるといっても言い過ぎではないでしょう．しかし，実は同じ運動を表現できる ラグランジアンは不特定多数存在するのです!最も基本的な量がそんなことでいいの？と呆れてしまいそうですが， この記事では，ラグランジアンがどのような性質を持つのかについて考えてみましょう．
同じ運動方程式を与えるラグランジアン ======================================== ここでもやはり，変分原理を使います．ラグランジアンが変わっても作用 $I$ の第1変分が $0$ となることが基本原理 であることは，変わりません．
ある質点系の運動がラグランジアン $L(q,\dot{q},t)$ によって記述できたとします．このとき作用 $I$ は
tex> I=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t
/tex> で定義されますね．
次に，ラグランジアンを新しく置き換えてみましょう．ここで，一般座標 $q$ と時間 $t$ の関数 $X(q,t)$ を考えます． このとき，新しいラグランジアンを $L'$ として，
tex> L'(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+{\mathrm{d}X(q,t)\over\mathrm{d}t}
/tex> を定義してみましょう．新しいラグランジアンが定める作用を $I'$ としますと，
tex> I'&=\int_{t_1}^{t_2}\left( L+\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}t\\ &=\int_{t_1}^{t_2}L\mathrm{d}t+\int_{t_1}^{t_2}{\mathrm{d}X\over\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\\ &=I+X(q(t_2),t_2)-X(q(t_1),t_1)
/tex> と計算できます．今調べたいのは，新しいラグランジアンがどのような運動方程式を与えるのか，ということですから 作用 $I'$ の変分をとります．運動方程式を求めるとき，一般座標の変分 $\delta q_k$ は運動の最初と終わりで $0$ と するのでしたから， $X(q(t_2),t_2)$ と $X(q(t_1),t_1)$ は経路を変更しても変化しません．つまり，それらの変分は $0$ と なって消えてくれますから，
tex> \delta I'=\delta I
/tex> となります．つまり，二つのラグランジアン $L$ と $L'$ は同じ運動方程式を与えることが分かりますね．このように ラグランジアンの変換には，運動方程式にまったく影響がないものが存在するのです．
このように運動方程式を変化させない変換を総称してゲージ変換と呼びます．具体的な問題では，ラグランジアンを少し簡単に できることもありますし，理論的考察を行うときに便利なこともあるでしょう．(具体的な問題を解くときはラグランジアンを簡 単にして運動方程式を簡単に導くことができることはありますが，最終的に解く方程式は変化しないのでそこは誤解しないでく ださい．)
この記事の結果は，ハミルトンの正準方程式を考察していくときに使う予定ですが，それまでは忘れてしまっても苦労はしないでしょう． もしそのときに忘れていたとしても，さっと復習するだけで十分に理解できると思います．
でも一回理解しておくと自分で導くのも簡単でしょうから， ラグランジアンは一意に表せないってことだけは覚えていたら良いかもしれませんね．
@@author:佑弥@@ @@category:解析力学@@
