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グリーン関数を理解しよう(ファインマンダイアグラム)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ウィックの定理_ です。
次の記事は 真空偏極グラフとキャンセル定理_ です。( 目次_ )
基本的対応
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この記事ではファインマンダイアグラムを学びます。
まず、 前回_ の最後の式を思い出しましょう。
再掲すると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^\infty dt_2 \sum_{\bm{q}_1 \bm{q}_2} M_{\bm{q}_1} M_{\bm{q}_2} \ _0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}(t_2) | \rangle_0 \\
&\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1+\bm{q}_1, s}(t_1) \hat{C}_{\bm{k}_1,s}(t_1) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_2+\bm{q}_2, s}(t_2) \hat{C}_{\bm{k}_2,s^\prime}(t_2) \hat{C}^\dagger_{\bm{p} \sigma}(t^\prime) | \rangle_0
\tag{##}
</tex>
という、相互作用のあるグリーン関数の自由なグリーン関数の展開の電子部分で、
<tex>
&_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1+\bm{q}_1, s}(t_1) \hat{C}_{\bm{k}_1,s}(t_1) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_2+\bm{q}_2, s}(t_2) \hat{C}_{\bm{k}_2,s^\prime}(t_2) \hat{C}^\dagger_{\bm{p} \sigma}(t^\prime) | \rangle_0 \\ \\
&= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \delta_{s=s^\prime=\sigma} G^{(0)}(\bm{p},t - t_1) G^{(0)}(\bm{p} - \bm{q}_1,t_1 - t_2) G^{(0)}(\bm{p},t_2 - t^\prime) \\ \\
&+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s=s^\prime=\sigma} G^{(0)}(\bm{p},t - t_2) G^{(0)}(\bm{p} - \bm{q}_1,t_2 - t_1) G^{(0)}(\bm{p},t_1 - t^\prime) \\ \\
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \delta_{s=\sigma} n_F(\xi_{\bm{k_2}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t_1) G^{(0)}(\bm{p},t_1 - t^\prime) \\ \\
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \delta_{s^\prime=\sigma} n_F(\xi_{\bm{k_1}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t_2) G^{(0)}(\bm{p},t_2 - t^\prime) \\ \\
&+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_{\bm{k_1}})n_F(\xi_{\bm{k_2}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t^\prime) \\ \\
&- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^\prime = s} G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) G^{(0)}(\bm{k}_1,t_1-t_2) G^{(0)}(\bm{k}_1 + \bm{q}_1,t_2-t_1)
\tag{##}
</tex>
というものです。
というものです。ここにさらにフォノンの自由グリーン関数がかかっています。
<tex>
&_0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}(t_2) | \rangle_0 \\
&= i \delta_{\bm{q}_1+\bm{q}_2} D^{(0)}(\bm{q}_1,t_1-t_2)
\tag{##}
</tex>
今回はこの式 $(2)$ をダイアグラムで表すことをします。
それは、粒子の振る舞いを下図の様に対応させる手法です。
.. image :: chromel-studyGreen05-01.png
一番上の実線は自由な電子グリーン関数です。
矢印が時間の流れ（左から右）へ付いているのは
矢印が時間の流れ（左から右）へ付いているのは電子、
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
次の記事は 真空偏極グラフとキャンセル定理_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/
.. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/
.. _真空偏極グラフとキャンセル定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen06/
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen04@@
記事ソース/グリーン関数を理解しよう(ファインマンダイアグラム) のバックアップ差分(No.2)
