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============================================================ グリーン関数を理解しよう(ファインマンダイアグラム) ============================================================ これからいくつかの記事を通して、 物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。 いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。 参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。 前の記事は ウィックの定理_ です。 次の記事は 真空偏極グラフとキャンセル定理_ です。( 目次_ ) 基本的対応 ============================== この記事ではファインマンダイアグラムを学びます。 まず、 前回_ の最後の式を思い出しましょう。 再掲すると、 <tex> G(\bm{p},t-t^\prime) &= G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) + \dfrac{(-i)^3}{2!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^\infty dt_2 \sum_{\bm{q}_1 \bm{q}_2} M_{\bm{q}_1} M_{\bm{q}_2} \ _0 \langle | T \hat{A}_{\bm{q}_1}(t_1) \hat{A}_{\bm{q}_2}(t_2) | \rangle_0 \\ &\times \sum_{\bm{k}_1 \bm{k}_2 s s^\prime} \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1+\bm{q}_1, s}(t_1) \hat{C}_{\bm{k}_1,s}(t_1) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_2+\bm{q}_2, s}(t_2) \hat{C}_{\bm{k}_2,s^\prime}(t_2) \hat{C}^\dagger_{\bm{p} \sigma}(t^\prime) | \rangle_0 \tag{##} </tex> という、相互作用のあるグリーン関数の自由なグリーン関数の展開の電子部分で、 <tex> &_0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p} \sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_1+\bm{q}_1, s}(t_1) \hat{C}_{\bm{k}_1,s}(t_1) \hat{C}^\dagger_{\bm{k}_2+\bm{q}_2, s}(t_2) \hat{C}_{\bm{k}_2,s^\prime}(t_2) \hat{C}^\dagger_{\bm{p} \sigma}(t^\prime) | \rangle_0 \\ \\ &= i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2 = \bm{k}_1 + \bm{q}_1} \delta_{s=s^\prime=\sigma} G^{(0)}(\bm{p},t - t_1) G^{(0)}(\bm{p} - \bm{q}_1,t_1 - t_2) G^{(0)}(\bm{p},t_2 - t^\prime) \\ \\ &+ i^3 \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s=s^\prime=\sigma} G^{(0)}(\bm{p},t - t_2) G^{(0)}(\bm{p} - \bm{q}_1,t_2 - t_1) G^{(0)}(\bm{p},t_1 - t^\prime) \\ \\ &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_1} \delta_{s=\sigma} n_F(\xi_{\bm{k_2}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t_1) G^{(0)}(\bm{p},t_1 - t^\prime) \\ \\ &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{p} = \bm{k}_2} \delta_{s^\prime=\sigma} n_F(\xi_{\bm{k_1}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t_2) G^{(0)}(\bm{p},t_2 - t^\prime) \\ \\ &+ i^2 \delta_{\bm{q}_1 = 0} \delta_{\bm{q}_2 = 0} n_F(\xi_{\bm{k_1}})n_F(\xi_{\bm{k_2}}) G^{(0)}(\bm{p},t - t^\prime) \\ \\ &- i^3 \delta_{\bm{k}_1 = \bm{k}_2 - \bm{q}_1} \delta_{s^\prime = s} G^{(0)}(\bm{p},t-t^\prime) G^{(0)}(\bm{k}_1,t_1-t_2) G^{(0)}(\bm{k}_1 + \bm{q}_1,t_2-t_1) \tag{##} </tex> というものです。 今回はこの式 $(2)$ をダイアグラムで表すことをします。 それは、粒子の振る舞いを下図の様に対応させる手法です。 .. image :: chromel-studyGreen05-01.png 一番上の実線は自由な電子グリーン関数です。 矢印が時間の流れ(左から右)へ付いているのは 今日はここまで、お疲れ様でした。 次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。 .. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/ .. _前回: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/ .. _ウィックの定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen04/ .. _真空偏極グラフとキャンセル定理: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen06/ @@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2020-05-05@@ @@category:量子力学@@ @@id:studyGreen04@@