記事ソース/グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー) のバックアップソース(No.10)

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グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。( 目次_ )

自己エネルギー
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グリーン関数の通常のフーリエ変換を

<tex>
G(\bm{p},E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} G(\bm{p},t-t^\prime)
\tag{##}
</tex>

とすると、自由なグリーン関数のフーリエ変換は
空バンドの場合は

<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \delta}
\tag{##}
</tex>

縮退した電子ガスの場合は

<tex>
G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \delta_{\bm{p}}}
\tag{##}
</tex>

でした。

さて、電子はその位置を移動して時間発展する時に、
自分自身と様々な相互作用を常にしています。
相互作用がない時が自由なグリーン関数なのです。
その相互作用を考慮したグリーン関数 $G(\bm{p},E)$ を
自由なグリーン関数 $G^{(0)}(\bm{p},E)$ と
自己エネルギー $\Sigma(\bm{p},E)$ のシンプルな式で表せる。
という事を示すのがこの記事の目的です。
自己エネルギーは摂動論的アプローチで無限次まで足すことで
求められます。主要部分が低次から数項で良い近似になっているときは良いのですが、
悪い時はアプローチ方法を変えなければなりません。

表したい $G(\bm{p},E)$ を確認しておきましょう。

<tex>
G(\bm{p},E) &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^n \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots  \int_{-\infty}^\infty dt_n \\
&\times \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}\sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p}\sigma}(t^\prime) \hat{V}(t_1) \cdots \hat{V}(t_n) | \rangle_0 \ \ \ (\rm{different \ connected})
\tag{##}
</tex>

自由なグリーン関数で表した二次の項までの展開は、

<tex>
G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots  \int_{-\infty}^\infty dt_n \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) 
\tag{##}
</tex>

ここで、 $D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2)$ に逆フーリエ変換を用います。

<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega t} D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>

よって、

<tex>
D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega (t_1-t_2)} D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>

だから、

<tex>
G(\bm{p},E) 
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots  \int_{-\infty}^\infty dt_n \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega (t_1-t_2)} D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots  \int_{-\infty}^\infty dt_n \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\
&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega (t_1-t_2)} D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \\
&\int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t_1)} G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) \\
&\int_{-\infty}^\infty dt_1 e^{i(E-\omega)(t_1 - t_2)} G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\
&\int_{-\infty}^\infty dt_2 e^{iE(t_2-t^\prime)} G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 G^{(0)}(\bm{p},E)^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\
&= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E)^2 \  i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
\Sigma^{(1)}(\bm{p},E) = i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} |M_{\bm{q}}|^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega)
\tag{##}
</tex>







今日はここまで、お疲れ様でした。

次の記事は フォトンのグリーン関数_ です。

.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen05/
.. _フォトンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen07/

@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-11@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen06@@
物理のかぎプロジェクト
