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逆行列のよく使う性質
グリーン関数と逆行列
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逆行列を掛けるということは、
どういうことなのか。
一つの解釈を書きたいとおもいます。
グリーン関数と逆行列の類似性について書きます。
基本的性質
===================
行列はベクトルを並べたものとして考えると、
分かり易いです。
例えば、
グリーン関数
======================
演算子 $L$ （ただし $L$ は、 $x$ についての演算子）
と既知関数 $f(x)$ 、未知関数 $\psi(x)$
があり以下の関係を満たすとします。
<tex>
A\bm{b} &=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix} \\
&=
3
\times
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
-1
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
+2
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
11
\end{pmatrix}
\tag{##}
L\psi(x)=f(x) \tag{##}
</tex>
ここで、グリーン関数 $G(x-x^\prime)$ を
次の性質を持つ関数として、
定義します [*]_ 。
<tex>
A\bm{b} &=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
+1
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
+1
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
6 \\
8 \\
2
\end{pmatrix}
\tag{##}
LG(x-x^\prime)=-\delta(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
.. [*] その求め方はここでは書きません。普通の演算子 $L$ に対してそんな関数が存在するということだけを知っておいてください。
これを使って、形式的に次のように書きます。
<tex>
A\bm{b} &=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
&=
2
\times
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
+4
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
-1
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
12 \\
9\\
-9
\end{pmatrix}
\tag{##}
G(x-x^\prime)=- L^{-1}\delta(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
という風に、行列と列ベクトルの積は、
行列 $A$ を列ベクトル $\bm{a}_i(i=1,2,3)$ に分解し、
右から掛ける列ベクトル $\bm{b}$ の成分をその係数にして
掛け合わせたものとなります。
すると、結局未知関数 $\psi(x)$ は次のように求まります。
この三つの列ベクトルを並べて行列を作りますと、
<tex>
A\bm{b} &=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 4 \\
2 & 1 & -1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
4 & 6& 12 \\
3 & 8& 9\\
11 & 2& -9
\end{pmatrix}
\tag{##}
\psi(x)
&= - \int L^{-1} \{ \delta(x-x^\prime) \} f(x^\prime) dx^\prime \\
&= \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{##}
</tex>
逆行列
===============
ここで、式 $(1)$ を確認しておきましょう。
式 $(4)$ の両辺に $L$ を作用させます。
すると、 $L$ は $x$ のみに関わるので、
ここで、有限次元の行列 $A$ を構成する列ベクトル $\bm{a}_i (i=1,2,3)$ を並べたものとして、
更に、 $A$ が逆行列を持つ（正則である）と考えてみましょう [*]_ 。 $A$ の逆行列を $A^{-1}$ と置きます。
<tex>
L \psi(x)
&= - \int L \{ L^{-1} \{ \delta(x-x^\prime) \} \} f(x^\prime) dx^\prime \\
&= \int \delta(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \\
&= f(x) \tag{##}
</tex>
.. [*] 行列は行基本変形や列基本変形で標準形を求めたとき、
階数が行列の次元に等しいと正則といい、
逆行列をもつのでした。
となり、確かに式 $(1)$ が成立していることが分かります。
すると、逆行列の定義から、
逆行列
===================
一方、有限次元の逆行列を持つ行列 $A$ 、
既知ベクトル $\bm{f}$ 、
未知ベクトル $\bm{x}$ について、
次のような方程式を考えます。
<tex>
A^{-1}A &= A^{-1}
\begin{pmatrix}
\bm{a}_1&\bm{a}_2&\bm{a}_3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
A\bm{x}=\bm{f} \tag{##}
</tex>
つまり、これを分解すると、
ここで、グリーン関数の行列版とでも言えるような、
次のベクトル群 $\bm{g}_i$ を導入します。
<tex>
A^{-1} \bm{a}_1 =
A\bm{g}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
</tex>
<tex>
A^{-1} \bm{a}_2 =
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\vdots
\end{pmatrix}
\equiv \bm{d}_1
\tag{##}
</tex>
<tex>
A^{-1} \bm{a}_3 =
A\bm{g}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
1 \\
\vdots
\end{pmatrix}
\equiv \bm{d}_2
\tag{##}
</tex>
と成ります。
すると、
重ね合わせの原理
=====================
行列と列ベクトルは線形性を持ちます。
つまり、行列 $A,B$ とし、列ベクトル $\bm{x},\bm{y}$ は、
<tex>
(A+B)\bm{x}=A\bm{x}+B\bm{x} \tag{##}
\bm{f} =\sum_i f_i A \bm{g}_i \tag{##}
</tex>
<tex>
A(\bm{x}+\bm{y})=A\bm{x}+A\bm{y} \tag{##}
</tex>
ですから、
が成り立ちます。
よって、式 $(6)$ の第一式に係数 $x_1$ を掛け、
第二式に $x_2$ を掛け、第三式に $x_3$ を掛け
足し合わせたものを作ると、
<tex>
A^{-1} \bm{x} &=
A^{-1}(x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+x_3\bm{a}_3) \\
&= \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} \tag{##}
\bm{x} &= A^{-1} \bm{f} \\
&= A^{-1} \sum_i f_i A \bm{g}_i \\
&= \sum_i f_i \bm{g}_i \\
&= \sum_i \bm{g}_i f_i \tag{##}
</tex>
と成ります。つまり、逆行列 $A^{-1}$ は、列ベクトル $\bm{x}$
を、列ベクトル $\bm{a}_i$ の線形結合
と表せます。ここで、 $f_i$ はベクトル $\bm{f}$ の第 $i$ 成分
です。
ここで、比較のため、式 $(4)$ をもう一度書きます。
<tex>
\bm{x}=\sum_i x_i \bm{a}_i \tag{##}
\psi(x) = \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{4}
</tex>
として表した
時の、 $\bm{a}_i$ の係数を列ベクトルとして
取り出す操作であることが分かります。
これで、列ベクトル $\bm{x}$ の代わりに、
行列 $X$ に作用させた時を考えると、
きれいに二つが対応しているのが見てとれますね。
というのは、つまり、δ関数 $\bm{d}_i$ に逆作用素（逆行列） $A^{-1}$ を掛けると、
グリーン関数 $\bm{g}_i$ になります。一方、非斉次項の $f(x)$ に対応するのが、 $f_i$ なわけです。
<tex>
A^{-1}X &=
A^{-1}
\begin{pmatrix}
x_1 \bm{a}_1 +x_2 \bm{a}_2 +x_3 \bm{a}_3
& y_1 \bm{a}_1 +y_2 \bm{a}_2 +y_3 \bm{a}_3
& z_1 \bm{a}_1 +z_2 \bm{a}_2 +z_3 \bm{a}_3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となる訳です。
その他応用例
===================
ここで簡単な応用例を書きます。 $n$ 次元正方行列 $A$ の固有ベクトルが、次元の数 $n$ 個あるとき、
固有値を $\lambda_i$ 、固有ベクトルを $\bm{p}_i$ とします。
固有ベクトルを並べた $n$ 次の行列を $P$ とします。
ここで、 $P^{-1}AP$ という行列を考えると、
<tex>
P^{-1}AP &=
P^{-1}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 \bm{p}_1 & \lambda_2 \bm{p}_2 & \cdots & \lambda_n \bm{p}_n
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_n
\end{pmatrix}
</tex>
となり、対角化されることが分かりますね。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-04-19@@
@@accept:2010-04-20@@
@@category:物理数学@@
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記事ソース/グリーン関数と逆行列 のバックアップの現在との差分(No.9)
