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グリーン関数と逆行列
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グリーン関数と逆行列の類似性について書きます。
グリーン関数
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演算子 $L$ と既知関数 $f(x)$ 、未知関数 $\psi(x)$
があり以下の関係を満たすとします。
<tex>
L\psi(x)=f(x) \tag{##}
</tex>
ここで、グリーン関数 $G(x-x^\prime)$ を
次の性質を持つ関数として、
定義します [*]_ 。
<tex>
LG(x-x^\prime)=-\delta(x-x^\prime) \tag{##}
</tex>
.. [*] その求め方はここでは書きません。普通の演算子 $L$ に対してそんな関数が存在するということだけを知っておいてください。
これを使って、形式的に次のように書きます。
<tex>
G(x-x^\prime)=-\int L^{-1}\delta(x-x^\prime) dx^\prime \tag{##}
</tex>
すると、結局未知関数 $\psi(x)$ は次のように求まります。
<tex>
\psi(x)
&= \int L^{-1} \delta(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \\
&= - \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{##}
</tex>
逆行列
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一方、逆行列を持つ行列 $A$ 、
既知ベクトル $\bm{b}$ 、
未知ベクトル $\bm{x}$ について、
次のような方程式を考えます。
<tex>
A\bm{x}=\bm{b} \tag{##}
</tex>
ここで、グリーン関数の行列版とでも言えるような、
次のベクトル群 $\bm{g}_i$ を導入します。
<tex>
A\bm{g}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
A\bm{g}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
\vdots
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
すると、
<tex>
\bm{x} &= A^{-1} \bm{b} \\
&= \sum_i b_i \bm{g}_i \tag{##}
</tex>
と表せます。ここで、 $b_i$ はベクトル $\bm{b}$ の第 $i$ 成分
です。
ここで、比較のため、式 $(4)$ をもう一度書きます。
<tex>
\psi(x) = - \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{4}
</tex>
きれいに二つが対応しているのが見てとれますね。
以上、小ネタでした。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-04-19@@
@@accept:2010-04-20@@
@@category:物理数学@@
@@id:inverseMatrix@@
記事ソース/グリーン関数と逆行列 のバックアップ差分(No.6)
