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オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性
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オイラー・ラグランジュ方程式
<tex>
\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i} \right)- \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = 0 \tag{##}
</tex>
は、デカルト座標系で表された場合でも、
極座標で表された時でも、等しく成り立つのでした。
どんな同次変換
<tex>
q_i = f_i(\eta_j) \ \ \ (i,j = 1,2, \cdots n) \tag{##}
</tex>
で考えても、オイラー・ラグランジュ方程式が成立することを証明します。
簡単の為、ラグランジアンは時間に依存しないものとします。
ある程度分かっている人向けだと思います。
ちょっと復習
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そもそもオイラー・ラグランジュ方程式は、どうやって導出されたのでしょうか。
軽く振り返ってみましょう。
自然界では作用 $S$ （＝ラグランジアン $L$ の時間積分）と呼ばれる量が停留値を取るように運動がおこります。
これをハミルトンの原理とか、最小作用の原理といいます。
数式で表すと、 $A$ 点 $B$ 点の間では
<tex>
S = \int_A^B L(q_i , \dot{q}_i) dt \tag{##}
</tex>
として、その変分を $\delta S$ とすると、
<tex>
\delta S &= \delta \int_A^B L(q_i , \dot{q}_i) dt \\
&= \int_A^B \left\{ L(q_i + \delta q_i, \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) - L(q_i , \dot{q}_i) dt \right\} \\
&= \int_A^B \left\{ L(q_i + \delta q_i, \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) - L(q_i , \dot{q}_i) \right\} dt \\
&= \int_A^B \left\{ L(q_i + \delta q_i, \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) - L(q_i, \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) \right. \\
&+ \left. L(q_i , \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) - L(q_i , \dot{q}_i) dt \right\} \\
&+ \left. L(q_i , \dot{q}_i+\delta \dot{q}_i) - L(q_i , \dot{q}_i) \right\} dt \\
&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial (q_i, \dot{q}_i)}{\partial q_i} \delta q_i + \dfrac{\partial L(q_i, \dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i}) \delta \dot{q}_i \right) dt \\
&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_i, \dot{q}_i)}{\partial q_i } \delta q_i - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_i, \dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right) dt \\
&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_i, \dot{q}_i)}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_i, \dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i} \right) \right) \delta q_i dt \\
&= 0 \tag{##}
</tex>
このゼロが恒等的に成立するとすると、オイラー・ラグランジュ方程式、
<tex>
\dfrac{\partial L (q_i, \dot{q}_i)}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_i, \dot{q}_i}{\partial \dot{q}_i} \right) = 0 \tag{##}
</tex>
が導かれます。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-03-13@@
@@category:解析力学@@
@@id:coodindep@@
記事ソース/オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性 のバックアップ差分(No.5)
