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エルミート行列とユニタリー行列の関係
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量子力学でもお馴染みの話です。
エルミート行列 $H$ ならば、ユニタリー行列 $U$ で挟むことによって対角化し、 $\Lambda$ とできます。
エルミート行列 $H$ ならば、ユニタリー行列 $U$ で挟むことによって対角化し、対角行列 $ \Lambda = U^\dagger H U $ とできます。
では、逆にユニタリー行列 $U$ で対角化できる行列 $A$ は、エルミート行列しかないの？
という疑問に答えるのがこの記事です。簡単の為、３次行列で話を進めます。
条件を整理する
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列ベクトル $\bm{x}_1,\bm{x}_2,\bm{x}_3$ をユニタリー行列の成分とします。
つまり、
<tex>
U = \begin{pmatrix}
& & \\
\bm{x}_1 & \bm{x}_2 & \bm{x}_3 \\
& &
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
です。すると、その逆行列は、エルミート共役(共役転置)をダガー $\dagger$ で表すと、
<tex>
U^{-1}=U^\dagger = \begin{pmatrix}
& \bm{x}_1^\dagger & \\
& \bm{x}_2^\dagger & \\
& \bm{x}_3^\dagger &
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。対角化された行列を次のように $\Lambda$ とします。
<tex>
\Lambda = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& & \lambda_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
さあ、準備ができた
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すると、 正方行列の三連続積の展開_ でやったように、
行列を展開できます。
<tex>
A &= U \Lambda U^{-1} \\
&= \lambda_1 \bm{x}_1 \bm{x}_1^\dagger + \lambda_2 \bm{x}_2 \bm{x}_2^\dagger + \lambda_3 \bm{x}_3 \bm{x}_3^\dagger \\
&= \sum_{i=1}^3 \lambda_i \bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger \tag{##}
</tex>
この $\bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger$ はダイアド積と呼ばれる積です。
具体的に
<tex>
\bm{x} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と置くと、 $\ast$ を複素共役とするなら、
<tex>
\bm{x}\bm{x}^\dagger &=
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha^\ast & \beta^\ast & \gamma^\ast
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
|\alpha|^2 & \alpha \beta^\ast & \alpha \gamma^\ast \\
\alpha^\ast \beta & |\beta|^2 & \beta \gamma^\ast \\
\alpha^\ast \gamma & \beta^\ast \gamma & |\gamma|^2
\end{pmatrix} \\
&= (\bm{x}\bm{x}^\dagger)^\dagger \tag{##}
</tex>
となり、見事にこれは、エルミート行列の条件、 $ H=H^\dagger $ を満たすことが分かります。
その和である $A$ も当然、エルミート行列です。
つまり、ユニタリー行列で対角化できるならば、その行列 $A$ はエルミート行列であることが分かりました。
今日はこの辺で、お疲れさまでした。
.. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3matrixProduct/
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-04-20@@
@@category:物理数学@@
@@id:herUni@@
記事ソース/エルミート行列とユニタリー行列の関係 のバックアップ差分(No.3)
