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うなり
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高校の物理で波動の分野を勉強したとき、うなりという現象についても学んだと思います。
ここでは音波を例にとって説明します。
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うなりとは
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うなりとは、音の高さがわずかに異なる二つの音が鳴っているとき、各々の基音の周波数の差に相当する周期で音の強弱が聞こえる現象です。
このとき二つの音はひとつの音であるように聞こえますが、二つの音の高さがある程度まで離れると両者は別の二音として聞こえます。
二つの音波の振動数がそれぞれ $f+\delta$ と $f - \delta$ で、振幅と位相は等しいとします。このとき、この二つの音波の重ね合わせは、
<tex>
s(t) = A \sin \left( 2\pi\left(f-\delta\right) t \right) + A \sin \left( 2 \pi \left(f+\delta\right) t\right) \tag{#def(eq1)}
</tex>
となります。
(#ref(eq1))式を三角関数の加法定理を用いて展開、整理します。
<tex>
s(t) & = A \left(
\sin ( 2\pi f t ) \cos ( 2\pi \delta t )
- \cos ( 2\pi f t ) \sin ( 2\pi \delta t )
+ \sin ( 2\pi f t ) \cos ( 2\pi \delta t )
+ \cos ( 2\pi f t ) \sin ( 2\pi \delta t )
\right)\\
& = \left[ 2 A \cos ( 2 \pi \delta t ) \right] \sin ( 2 \pi f t )\\
& = A_{\rm beat} \sin (2\pi f t) \tag{#def(eq2)}
</tex>
ここで $A_beat = 2 A \cos ( 2 \pi \delta t )$ とおきました。
ここで $A_{\rm beat} = 2 A \cos ( 2 \pi \delta t )$ とおきました。
例えば $400 \ \rm{Hz}$ の音と $410 \ {\rm Hz}$ の同じ強さの音が鳴っているとき、
振動数 $405 \ {\rm Hz}$ の音が $410 \ {\rm Hz} - 400 \ {\rm Hz} = 10 \ {\rm Hz}$ 、
つまり一秒間に 10 回強弱を繰り返して聞こえることになります。
例えば $f_1 = 400 \ \rm{Hz}$ の音と $f_2 = 410 \ {\rm Hz}$ の同じ強さの音が鳴っているとき、一秒間に 10 回強弱を繰り返して聞こえることになります。
このようすを図に描くと、次のようになります。赤線が式 (#ref(eq2)) の振幅部分、青線が (#ref(eq2)) 全体をプロットしたものになります。
.. image:: co-beating01.png
振幅 $A_{\rm beat}$ の振動数は $\delta = 5 \ {\rm Hz}$ なのに、なぜ 10 回の強弱が聞こえるのか不思議に思うかもしれません。
上のグラフを良く見てください。「強弱」とは、振幅が最大になる点とゼロになる点の繰り返しのことです。
最大・最小・最大・最小・・・ は 0.1 秒周期で繰り返していますね。すなわち $10 \ {\rm Hz}$ なのです。
これは、我々の耳が振幅を聴くのではなく音の大きさ(振幅の二乗)を感じていることにも関係します。
この強弱の繰り返しの振動数 $|f_2 - f_1|$ をうなりの振動数 (beating frequency) といいます。
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うなりを聴いてみよう
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数式の上では分かった気がしますが、うなりとは実際にはどのように聞こえるのでしょう？
次のアプレットでは、実際に二つの周波数の音を合成して聴くことができます。
まず振動数を調整します。それから、スピーカの音量に注意して、「Play」ボタンを押してみましょう。
.. raw:: html
<applet archive="beating.jar" code="BeatingApplet.class" width="400" height="250"></applet>
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 波と振動@@
@@id: howling@@
記事ソース/うなり のバックアップ差分(No.24)
