すみません。項を改めました。
ノルムというのは次のように性質を満たすものと定義されます。
1)‖x‖≧0 かつ ‖x‖=0 ⇔ x=0 2)‖α x‖=|α|‖x‖ ただしαはスカラー 3)‖x+y‖≦‖x‖+‖y‖
この定義を見ていただくとお分かりの通り、元の空間が線型空間でないとノルムは定義できません。
つまり「距離」とは似ているようでちょっと違うんです。