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任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開
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この記事は、 スピン一重項と三重項のｘｙ方向固有状態での展開_
という記事の姉妹編です。どちらを先に読んでも構いません。
パウリ行列
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まず、パウリ行列を次の様に定めます。
<tex>
\bm{\sigma} = (\sigma_x , \sigma_y , \sigma_z) \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 &-1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
スピンの状態は、二成分のスピノール
<tex>
\chi \equiv
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
また、その共役転置、
<tex>
\chi^\dagger \equiv
\begin{pmatrix}
c_+^\ast &
c_-^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
で表わされます。
方向 $\bm{n}$ を次のようにオイラー角で定めます。
<tex>
\bm{n} &= \begin{pmatrix}
\sin \theta \cos \phi \\
\sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta
\end{pmatrix} \\
&\equiv
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
今、任意の方向 $\bm{n}$ を向いたスピンは、
固有値を $\lambda$ として、
<tex>
(\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi= \lambda \chi \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
(\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi
&=(\alpha \sigma_x + \beta \sigma_y + \gamma \sigma_z) \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\gamma & \alpha - i \beta \\
\alpha + i \beta & -\gamma
\end{pmatrix} \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta (\cos \phi - i \sin \phi) \\
\sin \theta (\cos \phi + i \sin \phi) & -\cos \theta
\end{pmatrix} \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\
\sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\
\sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と求められます。
この固有値問題を解くと、
<tex>
\lambda &= \pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2} \\
&=\pm 1 \tag{##}
</tex>
ですから、 $\lambda = 1 $ に対して、
<tex>
\begin{pmatrix}
1- \cos \theta & -\sin \theta e^{- i \phi} \\
-\sin \theta e^{i \phi} & 1 + \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
=0 \tag{##}
</tex>
<tex>
(1- \cos \theta)c_+ -\sin \theta e^{- i \phi} c_- =0 \tag{##}
</tex>
より、固有スピノール $\chi_+$ は、規格化因子を $A$ として、
<tex>
\chi_{1} &=
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \\
&= A
\begin{pmatrix}
\sin \theta \\
(1-\cos \theta)e^{i \phi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
なので、規格化因子を求めると、
<tex>
\chi_{1}^\dagger \chi_{1} &=
A^2
\begin{pmatrix}
\sin \theta & (1-\cos \theta)e^{-i \phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin \theta \\
(1-\cos \theta)e^{i \phi}
\end{pmatrix} \\
&= A^2 (\sin^2 \theta + (1- \cos \theta)^2 e^{i \phi - i \phi}) \\
&= A^2 2(1- \cos \theta) \\
&= A^2 4 \sin^2 (\dfrac{\theta}{2}) \\
&= 1 \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
A = \dfrac{e^{i \delta}}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}} \tag{##}
</tex>
ここで、 $\delta$ は任意の実数で位相因子と言います。
よって、 $\chi_{1}$ が求まりました。
<tex>
\chi_{1} &= A
\begin{pmatrix}
\sin \theta \\
(1-\cos \theta)e^{i \phi}
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{e^{i \delta}}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}
\begin{pmatrix}
2 \sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2} \\
2 \sin^2 \dfrac{\theta}{2} e^{i \phi}
\end{pmatrix} \\
&= e^{i \delta}
\begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} \\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{i \phi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、 $\delta = -\dfrac{\phi}{2} - \dfrac{\psi}{2}$ と置くと、
<tex>
\chi_{1} &= \begin{pmatrix}
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{-i(\phi+\psi)/2}\\
\sin \dfrac{\theta}{2} e^{ i(\phi-\psi)/2}
\end{pmatrix}
</tex>
同様に、 $\lambda=-1$ の時の固有スピノールは、
<tex>
\chi_{-1} &= \begin{pmatrix}
-\sin \dfrac{\theta}{2} e^{-i(\phi-\psi)/2}\\
\cos \dfrac{\theta}{2} e^{ i(\phi+\psi)/2}
\end{pmatrix}
</tex>
ｚ方向の固有スピノール
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ここで進む向きを変えて、
注は、この様に [*]_ 入れます。
.. [*] これも半角スペースに気をつけてください。
記事の中で改行したいときは、この様に半角スペースを入れてください。
.. _スピン一重項と三重項のｘｙ方向固有状態での展開: http://hooktail.sub.jp/quantum/developOfSingletTriplet/
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-06-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinOfArbitraryDirection@@
:記事ソース/任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開 のバックアップの現在との差分(No.7)
