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============================================================ 任意の方向を向いたスピンのxyz方向固有状態での展開 ============================================================ この記事は、 スピン一重項と三重項のxy方向固有状態での展開_ という記事の姉妹編です。どちらを先に読んでも構いません。 パウリ行列 =================== まず、パウリ行列を次の様に定めます。 <tex> \bm{\sigma} = (\sigma_x , \sigma_y , \sigma_z) \tag{##} </tex> <tex> \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> スピンの状態は、二成分のスピノール <tex> \chi \equiv \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} \tag{##} </tex> また、その共役転置、 <tex> \chi^\dagger \equiv \begin{pmatrix} c_+^\ast & c_-^\ast \end{pmatrix} \tag{##} </tex> で表わされます。 方向 $\bm{n}$ を次のようにオイラー角で定めます。 <tex> \bm{n} &= \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{pmatrix} \\ &\equiv \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 今、任意の方向 $\bm{n}$ を向いたスピンは、 固有値を $\lambda$ として、 <tex> (\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi= \lambda \chi \tag{##} </tex> つまり、 <tex> (\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi &=(\alpha \sigma_x + \beta \sigma_y + \gamma \sigma_z) \chi \\ &= \begin{pmatrix} \gamma & \alpha - i \beta \\ \alpha + i \beta & -\gamma \end{pmatrix} \chi \\ &= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta (\cos \phi - i \sin \phi) \\ \sin \theta (\cos \phi + i \sin \phi) & -\cos \theta \end{pmatrix} \chi \\ &= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\ \sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} \tag{##} </tex> より、 <tex> \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\ \sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} \tag{##} </tex> と求められます。 この固有値問題を解くと、 <tex> \lambda &= \pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2} \\ &=\pm 1 \tag{##} </tex> ですから、 $\lambda = 1 $ に対して、 <tex> \begin{pmatrix} 1- \cos \theta & -\sin \theta e^{- i \phi} \\ -\sin \theta e^{i \phi} & 1 + \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} =0 \tag{##} </tex> <tex> (1- \cos \theta)c_+ -\sin \theta e^{- i \phi} c_- =0 </tex> より、固有状態 $\chi_+$ は、規格化因子を $A$ として、 <tex> \chi_{1} &= \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} \\ &= A \begin{pmatrix} \sin \theta \\ (1-\cos \theta)e^{i \phi} \end{pmatrix} </tex> なので、規格化因子を求めると、 <tex> \chi_{1}^\dagger \chi_{1} &= A^2 \begin{pmatrix} \sin \theta & (1-\cos \theta)e^{-i \phi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \theta \\ (1-\cos \theta)e^{i \phi} \end{pmatrix} \\ &= A^2 (\sin^2 \theta + (1- \cos \theta)^2 e^{i \phi - i \phi}) \\ &= A^2 2(1- \cos \theta) \\ &= A^2 4 \sin^2 (\dfrac{\theta}{2}) &= 1 </tex> よって、 <tex> A = \dfrac{1}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}} </tex> 注は、この様に [*]_ 入れます。 .. [*] これも半角スペースに気をつけてください。 記事の中で改行したいときは、この様に半角スペースを入れてください。 .. _スピン一重項と三重項のxy方向固有状態での展開: http://hooktail.sub.jp/quantum/developOfSingletTriplet/ @@author:クロメル@@ @@accept:2010-06-05@@ @@category:量子力学@@ @@id:spinOfArbitraryDirection@@