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任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開
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この記事は、 スピン一重項と三重項のｘｙ方向固有状態での展開_
という記事の姉妹編です。どちらを先に読んでも構いません。
パウリ行列
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まず、パウリ行列を次の様に定めます。
<tex>
\bm{\sigma} = (\sigma_x , \sigma_y , \sigma_z) \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
\sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 &-1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
スピンは、二成分のスピノール
<tex>
\chi \equiv
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
また、その共役転置、
<tex>
\chi^\dagger \equiv
\begin{pmatrix}
c_+^\ast &
c_-^\ast
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
で表わされます。
方向 $\bm{n}$ を次のようにオイラー角で定めます。
<tex>
\bm{n} &= \begin{pmatrix}
\sin \theta \cos \phi \\
\sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta
\end{pmatrix} \\
&\equiv
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\gamma
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
今、任意の方向 $\bm{n}$ を向いたスピンは、
固有値を $\lambda$ として、
<tex>
(\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi= \lambda \chi
</tex>
つまり、
<tex>
(\bm{\sigma} \cdot \bm{n})\chi
&=(\alpha \sigma_x + \beta \sigma_y + \gamma \sigma_z) \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\gamma & \alpha - i \beta \\
\alpha + i \beta & -\gamma
\end{pmatrix} \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta (\cos \phi - i \sin \phi) \\
\sin \theta (\cos \phi + i \sin \phi) & -\cos \theta
\end{pmatrix} \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\
\sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
</tex>
より、
<tex>
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta e^{- i \phi} \\
\sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
</tex>
と求められます。
この固有値問題を解くと、
<tex>
\lambda &= \pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2} \\
&=\pm 1
</tex>
ですから、 $\lambda = 1 $ に対して、
<tex>
\begin{pmatrix}
1- \cos \theta & -\sin \theta e^{- i \phi} \\
-\sin \theta e^{i \phi} & 1 + \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
</tex>
<tex>
c_+
</tex>
注は、この様に [*]_ 入れます。
.. [*] これも半角スペースに気をつけてください。
記事の中で改行したいときは、この様に半角スペースを入れてください。
.. _スピン一重項と三重項のｘｙ方向固有状態での展開: http://hooktail.sub.jp/quantum/developOfSingletTriplet/
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-06-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:spinOfArbitraryDirection@@
:記事ソース/任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開 のバックアップの現在との差分(No.4)
