物理のかぎしっぽ : 記事ソース/逆行列のよく使う性質 のバックアップ差分(No.1)

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 逆行列のよく使う性質
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 逆行列を掛けるということは、
 どういうことなのか。
 一つの解釈を書きたいとおもいます。
 
 基本的性質
 ===================
 
 行列はベクトルを並べたものとして考えると、
 分かり易いです。
 
 例えば、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 2 \\
 -1 & 4 & 5 \\
 1 & -2 & 3
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 3 \\
 -1 \\
 2
 \end{pmatrix}
 &=
 3 
 \times
 \begin{pmatrix}
 1 \\
 -1 \\
 1
 \end{pmatrix}
 -1
 \times
 \begin{pmatrix}
 3 \\
 4 \\
 -2
 \end{pmatrix}
 +2 
 \times
 \begin{pmatrix}
 2 \\
 5 \\
 3
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix}
 4 \\
 3 \\
 11
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 という風に、行列と列ベクトルの積は、
 行列を列ベクトル $\bm{a}_i(i=1,2,3)$ に分解し、
 右から掛ける列ベクトル $\bm{b}$ の成分をその係数にして
 掛け合わせたものとなります。
 
 逆行列
 ===============
 
 ここで、行列 $A$ を構成する列ベクトル $\bm{a}_i (i=1,2,3)$ の集合として、
 逆行列を持つと考えてみましょう [*]_ 。 $A$ の逆行列を $P$ と置きます。
 
 .. [*]: 行列は行基本変形や列基本変形で標準形を求めたとき、
  階数が行列の次元に等しいと正則といい、
  逆行列をもつのでした。
 
 すると、逆行列の定義から、
 
 <tex>
 PA &= P
 \begin{pmatrix}
 \bm{a}_1&\bm{a}_2&\bm{a}_3
 \end{pmatrix} \\
 &= \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 つまり、これを分解すると、
 
 <tex>
 P \bm{a}_1 = 
 \begin{pmatrix}
 1 \\
 0 \\
 0
 \end{pmatrix}
 </tex>
 
 <tex>
 P \bm{a}_2 = 
 \begin{pmatrix}
 0 \\
 1 \\
 0
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 P \bm{a}_3 = 
 \begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 1
 \end{pmatrix} 
 </tex>
 
 と成ります。
 
 重ね合わせの原理
 =====================
 
 行列と列ベクトルは線形性を持ちます。
 
 つまり、行列 $A,B$ とし、列ベクトル $\bm{x},\bm{y}$ は、
 
 <tex>
 (A+B)\bm{x}=A\bm{x}+B\bm{x} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 A(\bm{x}+\bm{y})=A\bm{x}+A\bm{y} \tag{##}
 </tex>
 
 が成り立ちます。
 
 よって、
 
 @@author:クロメル@@
 @@accept:2010-04-19@@
 @@category:物理数学@@
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